Ensino Médio ⇒ Racionalize o denominador da seguinte fração Tópico resolvido

[andersontricordiano]

Racionalize o denominador da seguinte fração : [tex3]\frac{1}{2-\sqrt[3]{2}}[/tex3]

Resposta: [tex3]\frac{4+2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}{6}[/tex3]

[Cientista]

Olá Anderson,

Sabemos que apartir da diferença de trinómios, que [tex3]a^{3}-b^{3}=(a-b).(a^{2}+ab+b^{2})[/tex3]. Logo, uma vez que procuramos eleminar a raíz do denominadores(por isso que estamos a racionalizar), temos que saber qual o seu conjugado, então para esse tipo de situação, é um caso excepcional(particular/especial), pois você deve saber que o conjugado de [tex3]a^{3}-b^{3}[/tex3] é [tex3]a^{2}+ab+b^{2}[/tex3], então do enunciado tirámos que [tex3]a=2[/tex3] e [tex3]b=\sqrt[3]{2}[/tex3], substituindo na relação teremos:
[tex3]2^{3}-(\sqrt[3]{2})^{3}=(2-\sqrt[3]2).(4+2.\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})[/tex3], logo concluímos que o seu conjugado é [tex3]4+2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}[/tex3], então o nosso objectivo é eleminarmos a raiz do denominador, logo não podemos pôr um valor com raíz, mas da nossa relação sabemos que [tex3]2^{3}-(\sqrt[3]{2})^{3}=4+2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}(conjugado)\rightarrow 6=4+2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}[/tex3]. Então, a esquerda temos um valor que é 6 e sabemos qual o seu conjugado, esse 6 é equivalente ao denominador então:
[tex3]\frac{1.(4+2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})}{6}\rightarrow \frac{4+2\sqrt[3]2+\sqrt[3]{4}}{6}[/tex3].
Espero ter ajudado.