IME / ITA ⇒ (CFO-PMERJ/2014 - Exatus) Probabilidade Tópico resolvido

[rafaelplaurindo]

Você está prestando um concurso composto por 10 questões de Matemática, com 4 alternativas de resposta para cada questão, sendo que somente uma está correta. Considere que para ser aprovado neste concurso você deve acertar, pelo menos, 6 questões de Matemática. Considere ainda que você não estudou, e que irá escolher as respostas ao acaso. A probabilidade de que você consiga sua aprovação neste concurso acertando exatamente 6 questões é igual a:

a) 0,03%, aproximadamente
b) 0,3%, aproximadamente
c) 3%, aproximadamente
d) 60%

Tive dificuldade de descobrir o número de casos favoráveis. Vou explicar por quê.
Seguindo mais ou menos a mesma lógica da Mega Sena, pensei em numerar as questões, que pelo princípio da contagem são 40, sendo 10 questões com 4 assertivas. Logo, nosso espaço amostral é o arranjo (pela ordem importar, tendo em vista que se marcar A na 1ª, e B na 2ª, seria diferente de B na 1ª e A na 2ª) de 40 tomados 10 a 10. E o número de casos favoráveis é o produto do arranjo de 10 tomados 6 a 6 que denota o total de questões certas, com o mínimo de 6 acertos para o candidato ser aprovado, sendo uma assertiva correta para cada questão, com o arranjo de 30 tomados 4 a 4, sendo 30 o número disponível de questões erradas e 4 o número máximo de erros que o candidato pode cometer. Como na quina, existindo 6 acertos no máximo, e dentre estes 5 devem ser acertados.
Mas reparei que, dependendo de como as questões são arranjadas, teremos repetições. A pergunta é, como eliminá-las?

[cajuADMIN]

Olá rafaelplaurindo,

Se você considerar cada alternativa como sendo uma questão e calculando o [tex3]A_{40}^{10}[/tex3], você estará contando situações onde o aluno marcou as 4 alternativas da primeira questão, as 4 da segunda e 2 da terceira, por exemplo. Ou seja, não dá pra fazer deste jeito, pois estará incluindo muitos arranjos que devem ser eliminados.

Vamos fazer o cálculo juntos:

Probabilidade de acertar uma questão: [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

Probabilidade de errar uma questão: [tex3]\frac{3}{4}[/tex3]

Quantidade de possibilidades de escolher 6 entre 10: [tex3]C_{10}^6=210[/tex3]

Para acertar exatamente 6 questões, devemos errar exatamente 4, ou seja, a probabilidade pedida é:

[tex3]P=\left(\frac{1}{4}\right)^6\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^4\cdot 210 = \frac{8505}{524288}\approx 1,6\%[/tex3]

Mesmo resolvendo de outras maneiras, só chego neste resultado que não tem nas alternativas.

Grande abraço,
Prof. Caju