Pré-Vestibular ⇒ (UnB/PAS - 1997) Função Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Dois postos militares [tex3]P_1[/tex3] e [tex3]P_2[/tex3] comunicam-se por meio de uma estação de transmissão [tex3]E_0,[/tex3] utilizando os passos do seguinte método de codificação de mensagens:

I. As mensagens são construídas utilizando-se o alfabeto usual, os símbolos listados na tabela abaixo e uma função do tipo [tex3]g(x)=mx+n.[/tex3]
II. Cada letra ou símbolo é associado a um número [tex3]x,[/tex3] obedecendo-se à tabela.
III. Cada número [tex3]x[/tex3] é transformado pela função [tex3]g[/tex3] no número [tex3]g(x).[/tex3]
IV. Ao número [tex3]g(x)[/tex3] é adicionado ou subtraído um múltiplo conveniente de [tex3]29,[/tex3] de tal forma que o resultado final seja um número pertencente ao intervalo [tex3][0,\ 28].[/tex3]
V. Novamente, utilizando a tabela associa-se o número obtido no passo IV ao símbolo correspondente.
VI. Uma frase é transformada, símbolo por símbolo, de acordo com os passos anteriores.

• [tex3]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}&\text{H}&\text{I}&\text{J}&\text{K}&\text{L}&\text{M}&\text{N}&\text{O}\\
  \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14\\
  \hline \text{P}&\text{Q}&\text{R}&\text{S}&\text{T}&\text{U}&\text{V}&\text{W}&\text{X}&\text{Y}&\text{Z}&\text{[ ]}&\cdot & ? &\\
  \hline 15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26&27&28\\
  \hline &&&&&&&&&&&&\\
  \end{array}[/tex3]

[tex3][ ][/tex3] representa espaço em branco.

O posto [tex3]P_1[/tex3] codifica as mensagens que transmite utilizando a função [tex3]f_1(x)=ax+b[/tex3].
A estação [tex3]E_0[/tex3], por medida de segurança, codifica novamente as mensagens que chegam de [tex3]P_1[/tex3] e as transmite para [tex3]P_2[/tex3], utilizando a função [tex3]f_2(y)=cy+d.[/tex3]

Com base nessa situação, julgue os itens a seguir.

(1) Os coeficientes [tex3]a,\ b,\ c \text{ e } d[/tex3] das funções [tex3]f_1[/tex3] e [tex3]f_2[/tex3] são necessariamente números inteiros positivos.
(2) Se [tex3]f_1(x)=3x+14[/tex3], então a mensagem [tex3]\text{HELP}[/tex3] será recebida como [tex3]\text{G[ ]SB}[/tex3] pela estação [tex3]E_0.[/tex3]
(3) A função [tex3]f[/tex3] que é utilizada para codificar as mensagens enviadas de [tex3]P_1[/tex3] para [tex3]P_2[/tex3] é dada por [tex3]f(x)=f_1(x)f_2(x).[/tex3]

Resposta

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E, C, E

[PedroCunha]

Olá, Aldrin.

I. Falso, pois "Ao número [tex3]g(x)[/tex3] é adicionado ou subtraído um múltiplo conveniente de [tex3]29[/tex3], de tal forma que o resultado final seja um número pertencente ao intervalo [tex3][0,\ 28][/tex3] ". Isso garante que a mensagem possa ser repassada, independente dos coeficientes escolhidos.

II. Utilizando a função, vamos repassar a mensagem HELP.

Segundo a tabela, o 7 representa o H. Assim: [tex3]g(7) = 3 \cdot 7 + 14 \therefore g(7) = 35[/tex3]. O menor múltiplo de 29 é o próprio 29, assim, 35 passa a valer 6, pertencendo ao intervalo dado. Logo, H vira G.
Segundo a tabela, o 4 representa o E. Assim: [tex3]g(4) = 3 \cdot 4 + 14 \therefore g(4) = 26[/tex3]. Com 26 já pertence ao intervalo, não é necessário fazer nenhuma outra transformação. Logo, E vira [].
Segundo a tabela, o 11 representa o L. Assim: [tex3]g(11) = 3 \cdot 11 + 14 \therefore g(11) = 47[/tex3]. Subtraindo 29, 45 passa a valer 18 (conforme explicado no H). Logo, L vira S.
Por fim, o 15 representa o P. Assim: [tex3]g(15) = 3 \cdot 15 + 14 \therefore g(15) = 59[/tex3]. Note que dessa vez temos que subtrair 58, que é [tex3]29 \cdot 2[/tex3], pois se subtraíssemos apenas 29, o número ainda não pertenceria ao intervalo necessário. Com isso, o valor passa a ser 1 e P vira B. Logo, a mensagem codificada fica G[]SB.

III. Falsa. Pois na verdade usa-se o valor de [tex3]f_1(x)[/tex3] em [tex3]f_2(x)[/tex3], então, a função correta é [tex3]f(x) = f_2 \circ f_1(x)[/tex3], ou seja, a função composta de [tex3]f_1[/tex3] em [tex3]f_2[/tex3].

Penso que seja isso, Aldrin.

Abraços,
Pedro