Ensino Médio ⇒ Radiciação Tópico resolvido

[Daniel Hartmann]

Se [tex3]a = \sqrt{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}[/tex3] e [tex3]b = \sqrt{4 - \sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}[/tex3], então calcule o valor de [tex3]a + b[/tex3].

Olá pessoal. Eu vi esse problema em outro Fórum, mas ainda não consegui resolver... ao invés de simplificar as coisas, eu estou só complicando... Alguém pode me ajudar?

Até mais!

[cajuADMIN]

Olá Daniel,

Pois é, dei uma mexida nos cálculos e achei que tava meio estranho mesmo.

Tentei várias modificações nos sinais para encontrar alguma solução "bonitinha", e a que melhor apareceu foi:

[tex3]a = \sqrt{4 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}[/tex3]

[tex3]b = \sqrt{4 - \sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}[/tex3]

Assim, encontramos:

[tex3]a+b=1+\sqrt{2\sqrt{5}+5}[/tex3]

Deixo aí a dica para você tentar.

[Daniel Hartmann]

Olá caju. Eu verifiquei o problema com o usuário do outro Fórum, e o correto é:

[tex3]a = \sqrt{4 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}[/tex3]

[tex3]b = \sqrt{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}[/tex3]

Realmente, daquele jeito era meio complcado de simplificar alguma coisa... Assim é bem mais fácil...

Até mais!

[cajuADMIN]

Olá,

Pois é, com esta combinação a soma [tex3]a+b[/tex3] fica mais bonitinha ainda, acho que não tinha tentado essa não...

[tex3]a+b=1+\sqrt{5}[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Hola Caju.

Aplicando a fórmula de transformação de radicais duplos sucessivamente não encontrei a mesma resposta.

[cajuADMIN]

Olá Paulo,

Qual resposta você chegou? Poste sua resolução para podermos dar alguma sugestão.

[Daniel Hartmann]

Atendendo a pedidos, eu vou colocar o desenvolvimento da resposta aqui:

Como o problema pede o valor de [tex3]a + b,[/tex3] podemos fazer o seguinte: aplicar o produto notável [tex3](a + b)^2[/tex3] e, lá no final da simplificação, passar uma raiz quadrada, que encontraremos a resposta. Então:

[tex3](a + b)^2 = 4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} + 2.\sqrt{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}.\sqrt{4 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}} + 4 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}[/tex3]

[tex3](a + b)^2 = 8 + 2.\sqrt{16 - 10 - 2\sqrt{5}}[/tex3]

[tex3](a + b)^2 = 8 + 2\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}[/tex3]

[tex3](a + b)^2 = 8 + 2.\sqrt{\left(\sqrt{5} - 1\right)^2}[/tex3]

[tex3](a + b)^2 = 8 + 2\sqrt{5} - 2[/tex3]

[tex3](a + b)^2 = 6 + 2\sqrt{5}[/tex3]

[tex3]a + b = \sqrt{\left(\sqrt{5} + 1\right)^2}[/tex3]

[tex3]a + b = \sqrt{5} + 1[/tex3]


E assim termina-se o problema!