Ensino Médio ⇒ Função Inversa e Função Composta Tópico resolvido

[Francisco Eduardo Delgado]

Dadas as funções de variável real [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] definidas por [tex3]f(x)\,=\, x^2\,-\,4x\,+\,3[/tex3] com [tex3]x\geq 2[/tex3] e [tex3]g(x)\,=\, 2 \,+\, \sqrt{ 1\,+\,x}[/tex3] com [tex3]x\geq -1[/tex3], determine:

a) [tex3]g(f(x))[/tex3]

b) [tex3]f^{-1}(120)[/tex3]

[Karl Weierstrass]

a) [tex3]g(f(x))\,=\,2 \,+\, \sqrt{ 1\,+\,f(x)}\,=\,2 \,+\, \sqrt{ 1\,+\,x^2\,-\,4x\,+\,3}\,=\,2\,+\,\sqrt{(x-2)^2}=\,2\,+\,|x\,-\,2|.[/tex3]

Como [tex3]x\geq 2,\,|x\,-\,2|\,=\,x\,-\,2.[/tex3] Então, [tex3]g(f(x))\,=\,2\,+\,x\,-\,2\,=\,x.[/tex3]



b)[tex3]f(x)\,=\, x^2\,-\,4x\,+\,3,[/tex3] com [tex3]x\geq 2.[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt} x\,=\, y^2\,-\,4y\,+\,3\,[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt} x\,+\,1=\, y^2\,-\,4y\,+\,4\,[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt} x\,+\,1=\, (y\,-\,2)^2[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt} \pm\,\sqrt{x\,+\,1}\,+\,2\,=\, y[/tex3]

[tex3]x\,\geq \,2\,\Longrightarrow \,y^{-1}\,=\, \sqrt{x\,+\,1}\,+\,2[/tex3]

Portanto,

[tex3]\hspace{70pt} f^{-1}(120)=\sqrt{120\,+\,1}\,+\,2\,=\,11\,+\,2\,=\,13.[/tex3]







[tex3]\,[/tex3]