Maratonas de Matemática ⇒ I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

[PedroCunha]

Temos o prazer de anunciar a primeira Maratona de Matemática voltada para FUVEST/UNICAMP do TutorBrasil.

As regras são bem simples e devem ser seguidas à risca:

I: Cada usuário deverá colocar em sua postagem a resposta da pergunta anterior e uma pergunta nova (com o gabarito dentro da tag spoiler). Friso novamente: deverão ser colocadas na mesma mensagem a resposta da pergunta anterior e a nova pergunta (com o gabarito dentro da tag spoiler);

*Questões sem gabarito deverão ser postadas na área Pré-Vestibular do Fórum e não na Maratona*.

II: Todas as perguntas e respostas deverão fazer uso do LaTeX (tutorial aqui: http://www.tutorbrasil.com.br/tutoriais ... r-equacoes );

III: As respostas deverão ser feitas da mesma maneira que você, o usuário, faria se fosse entregar a resposta de uma questão discursiva à banca da FUVEST/UNICAMP;

IV: Todas as questões devem ser da FUVEST/UNICAMP, com o respectivo ano de aplicação;

V: Uma questão nova só deverá ser postada quando a antiga for respondida. Se após um período de 36 horas a questão não for respondida, a mesma será retirada da Maratona e movida para a área Pré-Vestibular do Fórum, de forma a continuarmos a Maratona.;

VI: Antes de postar uma questão, faça uma busca no Fórum para garantir que a mesma já não tenha sido postada;

VII: As questões devem ser numeradas na ordem crescente.

O não cumprimento das regras acarretará na exclusão da maratona; este tópico será constantemente monitorado de forma a garantir que as regras sejam seguidas.

Segue um exemplo de como deverão ser as postagens:

Problema 1

(FUVEST/UNICAMP - Ano de aplicação ) Enunciado da questão

Código: Selecionar todos

[spoiler] gabarito [/spoiler]

Quem for resolver o problema:

Solução do problema 1

Descrever a solução

Problema 2

(FUVEST/UNICAMP - Ano de aplicação ) Enunciado da questão

Código: Selecionar todos

[spoiler] gabarito [/spoiler]

Seguem os links para as maratonas IME/ITA de Matemática já realizadas no fórum (criação do FilipeCaceres), para servirem de exemplo de como postar, etc. .

I Maratona: viewtopic.php?t=19152
II Maratona: viewtopic.php?t=20844
III Maratona: viewtopic.php?t=30498

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Problema 1

(FUVEST-2014) O triângulo [tex3]AOB[/tex3] é isósceles, com [tex3]OA = OB[/tex3], e [tex3]ABCD[/tex3] é um quadrado. Sendo [tex3]\theta[/tex3] a medida do ângulo [tex3]A\hat{O}B[/tex3], pode-se garantir que a área do quadrado é maior que a área do triângulo se:

a) [tex3]14^{\circ} < \theta < 28^{\circ}[/tex3]
b) [tex3]15^{\circ} < \theta < 60^{\circ}[/tex3]
c) [tex3]20^{\circ} < \theta < 90^{\circ}[/tex3]
d) [tex3]28^{\circ} < \theta < 120^{\circ}[/tex3]
e) [tex3]30^{\circ} < \theta < 150^{\circ}[/tex3]

Dados os valores aproximados:

[tex3]\tan 14^{\circ} \cong 0,2493, \tan 15^{\circ} \cong 0,2679 \\
\tan 20^{\circ} \cong 0,3640, \tan 28^{\circ} \cong 0,5317[/tex3]

Resposta

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Alternativa e

[csmarceloMOD]

Solução do problema 1

Área do quadrado ABCD = [tex3]AB^2[/tex3]

Área do triângulo AOB = [tex3]\frac{AB\cdot h}{2}[/tex3], sendo [tex3]h[/tex3] a altura relativa ao lado [tex3]AB[/tex3].

O enunciado pede o intervalo de [tex3]\theta[/tex3] para [tex3]AB^2>\frac{AB\cdot h}{2}[/tex3].

[tex3]AB^2>\frac{AB\cdot h}{2}\rightarrow h<2AB\ (I)[/tex3]

Sendo o triângulo [tex3]AOB[/tex3] isósceles, com [tex3]OA\equiv OB[/tex3], a altura [tex3]h[/tex3] também é mediana e bissetriz. Assim,

[tex3]\tan\left(\frac{\hat{AOB}}{2}\right)=\frac{\frac{AB}{2}}{h}\rightarrow h=\frac{AB}{2\cdot\tan\left(\frac{\hat{AOB}}{2}\right)}[/tex3]

Substituindo [tex3]h[/tex3] em [tex3](I)[/tex3]:

[tex3]\frac{AB}{2\cdot\tan\left(\frac{\hat{AOB}}{2}\right)}<2AB\rightarrow \tan\left(\frac{\hat{AOB}}{2}\right)>\frac{1}{4}[/tex3]

Comparando com os valores aproximados das tangentes dos ângulos dados no enunciado, garantimos que a área do quadrado será maior que a área do triângulo quando [tex3]\frac{\hat{AOB}}{2}\geq15^\circ\rightarrow\hat{AOB}\geq30^\circ[/tex3], o que nos leva à letra (e) como resposta.

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Problema 2

(FUVEST-1994) Deseja-se construir um cone circular reto com 4 cm de raio da base e 3 cm de altura. Para isto, recorta-se em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. Calcule a medida do ângulo central do setor circular.

Resposta

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[tex3]288^\circ[/tex3]

[PedroCunha]

Solução do problema 2

Considere o triângulo retângulo formado pelo raio da base, altura do cone e geratriz do mesmo.

Temos:

[tex3]g^2 = r^2 + h^2 \therefore g^2 = 4^2 + 3^2 \therefore g = 5[/tex3]

A área lateral de um cone qualquer é dada por [tex3]S_l = \pi \cdot r \cdot g[/tex3]. Como a área lateral nada mais é que um setor circular de raio [tex3]g[/tex3] , para descobrirmos a medida do ângulo pedido, basta fazermos uma regra de três, comparando a área de um círculo de raio [tex3]g[/tex3] e a área lateral:

[tex3]\begin{array} {|c|c|} \hline \pi \cdot r \cdot g & x \\ \hline \pi \cdot g^2 & 360^{\circ} \\ \hline \end{array} \Leftrightarrow x \cdot g = 360^{\circ} \cdot r \therefore 5x = 360^{\circ} \cdot 4 \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ x = 288^{\circ} }}[/tex3]

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Problema 3

(FUVEST - 2014) Considere o triângulo [tex3]ABC[/tex3] no plano cartesiano com vértices [tex3]A = (0,0), B = (3,4), C = (8,0)[/tex3]. O retângulo [tex3]MNPQ[/tex3] tem os vértices [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] sobre o eixo das abscissas , o vértice [tex3]Q[/tex3] sobre o lado [tex3]\overline{AB}[/tex3] e o vértice [tex3]P[/tex3] sobre o lado [tex3]\overline{BC}[/tex3]. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto [tex3]P[/tex3] é:

a) [tex3]\left( 4, \frac{16}{5} \right)[/tex3]
b) [tex3]\left( \frac{17}{4}, 3 \right)[/tex3]
c) [tex3]\left(5, \frac{12}{5} \right)[/tex3]
d) [tex3]\left(\frac{11}{2}, 2 \right)[/tex3]
e) [tex3]\left(6, \frac{8}{5} \right)[/tex3]

Resposta

---

Alternativa d

[poti]

Solução do problema 3

GEO.png (14.78 KiB) Exibido 19376 vezes

Por semelhança:

[tex3]\frac{4-n}{4} = \frac{m}{8}[/tex3]

[tex3]m = 8 - 2n \ (I)[/tex3]

[tex3]A_{MNPQ} = mn \ (II)[/tex3]

Substituindo a primeira na segunda:

[tex3]A_{MNPQ} = (8 - 2n)n[/tex3]

[tex3]A_{MNPQ} = -2n^2 + 8n[/tex3]

[tex3]n_v = 2 \Rightarrow Amáx_{MNPQ} = 8 \Rightarrow m_v = 4[/tex3]

O ponto P tem coordenadas: [tex3](AN, n) = (AM + m, 2) = (AM + 4, 2)[/tex3]

[tex3]\frac{AM}{AD} = \frac{MQ}{DB}[/tex3]

[tex3]\frac{AM}{3} = \frac{n}{4} \Rightarrow AM = \frac{3}{2}[/tex3]

Então P é [tex3]\boxed{\left(\frac{11}{2}, 2\right)}[/tex3]

Letra d

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Problema 4

(FUVEST - 1985) Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 2 e a hipotenusa mede 6. A área do triângulo é:

a) [tex3]2\sqrt{2}[/tex3]
b) [tex3]6[/tex3]
c) [tex3]4\sqrt{2}[/tex3]
d) [tex3]3[/tex3]
e) [tex3]\sqrt{6}[/tex3]

Resposta

---

Alternativa c

[csmarceloMOD]

Solução do problema 4

Por Pitágoras,

[tex3]6^2=2^2+c^2\rightarrow c=4\sqrt{2}[/tex3]

A área de um triângulo equivale à metade do produto dos catetos.

[tex3]S=\frac{2\cdot4\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}[/tex3]

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Problema 5

(FUVEST-2013) As propriedades aritméticas e as relativas à noção de ordem desempenham um importante papel no estudo dos números reais. Nesse contexto, qual das afirmações abaixo é correta?

a) Quaisquer que sejam os números reais positivos [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3], é verdadeiro que [tex3]\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}[/tex3].
b) Quaisquer que sejam os números reais [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] tais que [tex3]a^2-b^2=0[/tex3], é verdadeiro que [tex3]a=b[/tex3].
c) Qualquer que seja o número real [tex3]a[/tex3], é verdadeiro que [tex3]\sqrt{a^2}=a[/tex3].
d) Quaisquer que sejam os números reais [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] não nulos tais que [tex3]a<b[/tex3], é verdadeiro que [tex3]\frac{1}{b}<\frac{1}{a}[/tex3].
e) Qualquer que seja o número real [tex3]a[/tex3], com [tex3]0<a<1[/tex3], é verdadeiro que [tex3]a^2<\sqrt{a}[/tex3].

Resposta

---

e

[PedroCunha]

Solução do problema 5

Para provar que uma sentença é falsa, basta um contra-exemplo. Tendo dito isso:

a) Falsa: [tex3]\sqrt{4+5} = \sqrt{4} + \sqrt{5} \therefore 3 = 2 + 2,23 \therefore 3 = 4,23 \rightarrow \text{ Absurdo}[/tex3]
b) Falsa: [tex3]a^2 -b^2 = 0 \therefore a^2 = b^2 \rightarrow a = |b|[/tex3]. Contra-exemplo:
[tex3](2)^2 - [(-2)^2] = 0 \therefore 4 -4 = 0 \therefore 0 = 0, a \neq b[/tex3]
c) Falsa: como já vimos, [tex3]\sqrt{a^2} = |a|[/tex3].
d) Falsa: considere a desigualdade [tex3]a < b[/tex3]. Multiplicando tudo por [tex3]\frac{1}{ab}[/tex3], temos que analisar dois casos:
Se [tex3]\frac{1}{ab} < 0[/tex3] maior que zero: [tex3]\frac{1}{b} < \frac{1}{a}[/tex3].
Se [tex3]\frac{1}{ab} < 0[/tex3], ou seja [tex3]a < 0 \text{ e } b > 0,\, \frac{1}{b} > \frac{1}{a}[/tex3].
Exemplo numérico: [tex3]a = -3, b = 2: -\frac{1}{3} < \frac{1}{2}[/tex3].
e) Verdadeira. Por eliminação, sobra ela. A prova da veracidade da afirmação é:

[tex3]0 < a < 1 \therefore 0 < a^2 < a \therefore a^2 < a \dots I \\\\ a^2 < a \therefore \sqrt{a^2} < \sqrt{a}, \text{ como } a > 0, a < \sqrt{a} \dots II \\\\

\text{ De } I \text{ e } II: a^2 < \sqrt{a}[/tex3]

Letra e.

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Problema 6 :

(UNICAMP - 2013) A embalagem de certo produto alimentício, em formato de cilindro circular, será alterada para acomodar um novo rótulo com informações nutricionais mais completas. Mantendo o mesmo volume da embalagem, a sua área lateral precisa ser aumentada. Porém, por restrições de custo do material utilizado, este aumento da área lateral não deve ultrapassar [tex3]25\%[/tex3]. Sejam [tex3]r[/tex3] e [tex3]h[/tex3] o raio e a altura da embalagem original, e [tex3]R[/tex3] e [tex3]h[/tex3] o raio e a altura da embalagem alterada. Nessas condições podemos afirmar que:

a) [tex3]\frac{R}{r} \geq \frac{3}{4} \text{ e } \frac{H}{h} \leq \frac{16}{9}[/tex3]
b) [tex3]\frac{R}{r} \geq \frac{9}{16} \text{ e } \frac{H}{h} \leq \frac{4}{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{R}{r} \geq \frac{16}{25} \text{ e } \frac{H}{h} \leq \frac{5}{4}[/tex3]
d) [tex3]\frac{R}{r} \geq \frac{4}{5} \text{ e } \frac{H}{h} \leq \frac{25}{16}[/tex3]

Resposta

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Alternativa d

[PedroCunha]

Solução do problema 6 .

Seja [tex3]v_1,v_2, Sl_1 \text{ e } Sl_2[/tex3] ,respectivamente, o volume antigo,o volume após a modificação, a área lateral antiga e a área lateral após a modificação. Do enunciado, temos:

[tex3]\circ v_1 = v_2 \rightarrow \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot R^2 \cdot H \rightarrow \frac{h}{H} = \left( \frac{R}{r} \right)^2 \\\\ \circ Sl_2 \leq 1,25 \cdot Sl_1 \therefore 2\pi \cdot R \cdot H \leq \frac{5}{4} \cdot 2\pi \cdot r \cdot h \therefore R \cdot H \leq \frac{5}{4} \cdot r \cdot h, \text{ como } H, r > 0 : \\\\ \frac{R}{r} \leq \frac{5}{4} \cdot \frac{h}{H} \therefore -\left( \frac{5}{4} \cdot \frac{R}{r} \right)^2 - \frac{R}{r} \leq 0 \therefore \frac{R}{r} \cdot \left( -\frac{5}{4}\frac{R}{r} + 1 \right) \leq 0 \\\\ \text{ Como } \frac{R}{r} \text{ \'{e} sempre positivo, basta que tenhamos: } \frac{R}{r} \geq \frac{4}{5}[/tex3]

Assim:

[tex3]\sqrt{\frac{h}{H}} \geq \frac{4}{5} \therefore \frac{h}{H} \geq \frac{16}{25} \therefore 1 \geq \frac{16}{25} \cdot \frac{H}{h} \rightarrow \frac{H}{h} \leq \frac{25}{16}[/tex3]

Letra d.

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Problema 7

(UNICAMP-2013) Na figura abaixo, [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]BDE[/tex3] são triângulos isósceles semelhantes de bases [tex3]2a[/tex3] e [tex3]a[/tex3], respectivamente, e o ângulo [tex3]C\hat{A}B = 30^{\circ}[/tex3].

unicamp.png (18.25 KiB) Exibido 19337 vezes

Portanto, o comprimento do segmento [tex3]CE[/tex3] é:

a) [tex3]a \cdot \sqrt{\frac{5}{3}}[/tex3]
b) [tex3]a \cdot \sqrt{\frac{8}{3}}[/tex3]
c) [tex3]a \cdot \sqrt{\frac{7}{3}}[/tex3]
d) [tex3]a \cdot \sqrt{2}[/tex3]

Resposta

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Alternativa c

[csmarceloMOD]

Solução do problema 7

[tex3]\hat{CAB}=30^\circ, AC\equiv BC\rightarrow \hat{CBA}=30^\circ\rightarrow\hat{ACB}=120^\circ[/tex3]

Como [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]BDE[/tex3] são semelhantes,

[tex3]\hat{EBD}\equiv\hat{EDB}=30^\circ,\, BE\equiv DE[/tex3] e [tex3]\hat{BED}=120^\circ[/tex3]

Assim, temos que,

[tex3]\hat{CBE}=180^\circ-2\cdot30^\circ=120^\circ[/tex3]

Untitled.png (11.64 KiB) Exibido 19335 vezes

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[tex3]\cos120^\circ=-\frac{1}{2}[/tex3]

Pela Lei dos Cossenos,

Em [tex3]ABC,\, (2a)^2=x^2+x^2-2\cdot x\cdot x\cdot\cos120^\circ\rightarrow x^2=\frac{4a^2}{3}[/tex3]

Em [tex3]BDE,\, a^2=y^2+y^2-2\cdot y\cdot y\cdot\cos120^\circ\rightarrow y^2=\frac{a^2}{3}[/tex3]

Em [tex3]BCE[/tex3],

[tex3]CE^2=x^2+y^2-2\cdot x\cdot y\cdot\cos120^\circ[/tex3]
[tex3]CE^2=\frac{4a^2}{3}\,\,\,\rightarrow\,\,\,+\frac{a^2}{3}-2\cdot\sqrt{\frac{4a^2}{3}}\cdot\sqrt{\frac{a^2}{3}}\cdot\cos120^\circ[/tex3]
[tex3]CE=a\sqrt{\frac{7}{3}}[/tex3]

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Problema 8

( FUVEST - 2014 )Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.

Untitled1.png (6 KiB) Exibido 19335 vezes

Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.

a) [tex3]1.600m^2[/tex3]
b) [tex3]1.800m^2[/tex3]
c) [tex3]2.000m^2[/tex3]
d) [tex3]2.200m^2[/tex3]
e) [tex3]2.400m^2[/tex3]

Resposta

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a

[PedroCunha]

Solução do problema 8

Seja [tex3]x[/tex3] o lado de um dos hexágonos regulares. Sabemos também que o ângulo interno do mesmo vale 120°. Assim, aplicando a Lei dos Cossenos, teremos:

[tex3]25^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos 120^{\circ} \therefore 25^2 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \therefore \frac{25^2}{3} = x^2 \\\\ \Leftrightarrow x = \frac{25}{\sqrt 3}[/tex3]

A área da piscina é igual a área de três hexágonos de lado x. Assim:

[tex3]S_p = 3 \cdot 6 \cdot \frac{x^2\sqrt 3}{4} \therefore S_p = \frac{9}{2} \cdot \frac{625}{3} \cdot \sqrt 3 \therefore S_p = \frac{3\sqrt 3 \cdot 625}{2} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ S_p \approx 1600 m^2 }}[/tex3]

Letra a.

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Problema 9

(UNICAMP - 2013) Sejam [tex3]r, s[/tex3] e [tex3]t[/tex3] as raízes do polinômio [tex3]P(x) = x^3 + ax^2 + bx + \left( \frac{b}{a} \right)^3[/tex3], em que a e b são constantes reais não nulas. Se [tex3]s^2 = r \cdot t[/tex3] , então a soma de [tex3]r + t[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{b}{a} + a[/tex3]
b) [tex3]-\frac{b}{a} - a[/tex3]
c) [tex3]a - \frac{b}{a}[/tex3]
d) [tex3]\frac{b}{a} - a[/tex3]

Resposta

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Alternativa d

[Marcos]

Solução do problema 9

Seja [tex3]p(x) = x^3+ ax^2+ bx + \left(\frac{b}{a}\right)^3[/tex3] as raízes são [tex3]r,s[/tex3] e [tex3]t[/tex3] e [tex3]s^2=r\cdot t[/tex3].

Sendo:

[tex3]r\cdot s\cdot t=-\left(\frac{b}{a}\right)^3[/tex3]
[tex3]s^3=\left(-\frac{b}{a}\right)^3[/tex3]
[tex3]s=\frac{-b}{a}[/tex3]

[tex3]r+s+t=-a[/tex3], logo [tex3]r+t=-a-s \Rightarrow \boxed{\boxed{r+t=\frac{b}{a}-a}} \Longrightarrow Letra: (D)[/tex3]

Resposta: [tex3]D[/tex3]

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Problema 10

(UNICAMP - 1991) Qual o menor número inteiro de voltas que deve dar a roda c da engrenagem da figura, para que a roda a dê um número inteiro de voltas?

UNICAMP 1991.gif (28.46 KiB) Exibido 19324 vezes

Resposta

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O número mínimo de voltas da roda c é [tex3]5[/tex3].