Ensino Médio ⇒ (FUVEST - 1987) Geometria Tópico resolvido

[Lucasmenezes]

Uma folha de papel de dimensões 6 x 8 é dobrada de modo que dois vértices diagonalmente
opostos coincidam. Determine o comprimento do vinco (dobra).

Pessoal não estou conseguindo visualizar essa imagem dessa folha sendo dobrada. So enxergo essa dobra como sendo a diagonal do tring. 8 x 6.
Será que algue conseguiria uma imagem representando essa dobra? Ou se não, explicar detalhadamente o que está acontecendo ai?

Obrigado.

[PedroCunha]

Olá.

É melhor para você entender que você mesmo dobre uma folha na sua casa e veja o que acontece.

O desenho da folha após a dobra é:

dobra.png (11.94 KiB) Exibido 3642 vezes

[tex3]x[/tex3] é a medida da dobra; [tex3]d[/tex3] é a medida da diagonal do retângulo.

Vamos encontrar esta primeiro:

[tex3]d^2 = 6^2 + 8^2 \rightarrow d = 10[/tex3]

No triângulo retângulo [tex3]EFG[/tex3]:

[tex3]x^2 = 6^2 + (8-2y)^2 \therefore x^2 - 36 = 64 - 32y + 4y^2 \therefore x^2 = 4y^2 - 32y + 100[/tex3]

No triângulo retângulo [tex3]BIG[/tex3]:

[tex3](8-2y+y)^2 = 5^2 + \left( \frac{x}{2} \right)^2 \therefore (8-y)^2 = 25 + \frac{x^2}{4} \therefore \\\\ 64 - 16y +y^2 = 25 + y^2 - 8y + 25 \therefore 14 = 8y \rightarrow y = \frac{7}{4}[/tex3]

Lembrando que [tex3]x > 0[/tex3], temos:

[tex3]x^2 = 4 \cdot \left( \frac{7}{4} \right)^2 - 32 \cdot \frac{7}{4} + 100 \therefore x^2 = \frac{49}{4} - 56 + 100 \therefore x^2 = \frac{225}{4} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ x = \frac{15}{2}}}[/tex3]

É isso.

Lembre-se de dobrar a folha na sua casa e ver o que acontece com a dobradura.

Att.,
Pedro

[csmarceloMOD]

Uma outra forma de se resolver:

Untitled.png (6.98 KiB) Exibido 3637 vezes

Por Pitágoras,

[tex3]AC^2=8^2+6^2\rightarrow AC=10[/tex3]

Se [tex3]M[/tex3] não fosse ponto médio de [tex3]AC[/tex3], ao dobrarmos a folha, [tex3]A[/tex3] não encontraria [tex3]C[/tex3]. Logo, [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]AC[/tex3], e, portanto, [tex3]AM=\frac{AC}{2}=5[/tex3].

Agora, repare que [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]AEM[/tex3] são semelhantes por AA e, portanto:

[tex3]\frac{AE}{AM}=\frac{AC}{AB}\rightarrow AE=\frac{25}{4}[/tex3]

E, prosseguindo,

[tex3]\frac{EM}{BC}=\frac{AE}{AC}\rightarrow EM=\frac{15}{4}[/tex3]

Se [tex3]M[/tex3] não fosse ponto médio de [tex3]EF[/tex3], ao dobrarmos a folha, [tex3]A[/tex3] não encontraria [tex3]C[/tex3]. Logo, [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]EF[/tex3], e, portanto, [tex3]EF=2\cdot EM=\frac{15}{2}[/tex3].