IME/ITA ⇒ (IPhO 2002) Cinemática Tópico resolvido

[jrneliodias]

Uma barra rígida, de comprimento [tex3]\ell[/tex3], está apoiada no canto de uma sala (vide a figura abaixo). O extremo A desliza pela parede enquanto o extremo B desliza pelo solo. Encontre a aceleração do ponto C (centro da barra) em função do ângulo [tex3]\alpha[/tex3], se a velocidade do ponto B for constante. Despreze todas as forças de atrito.

as.png (20.67 KiB) Exibido 3801 vezes

Resposta

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[tex3]v_c=\frac{v_B}{2\,\sin\alpha}\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,a_c=\frac{v_B^2}{2\,\ell\,\sin^3\alpha}[/tex3]

Obrigado pela atenção.

[aleixoreis]

barra.inst.png (2.08 KiB) Exibido 3753 vezes

jrneliodias:
No livro "Problèmes de Mécanique" de Edmond Gabriel está um problema semelhante.
Trata-se do centro instantâneo de rotação, cuja teoria (no livro "Mecanique Théorique et Pratique" vol I e do mesmo autor) não consegui entender bem, pois além de complexa está escrita em francês, idioma que conheço muito pouco.
O que pude aprender:
O ponto [tex3]I[/tex3] é o centro de rotação instantâneo que segue a curva quando a escada se movimenta.
O ponto [tex3]C[/tex3], por estar no meio da escada, descreve uma trajetória circular, se não a trajetória é uma elipse.
Existe a seguinte relação: [tex3]\frac{V_A}{B_B}=\frac{IA}{IB}[/tex3]
Então: [tex3]V_M=V_B\frac{\frac{l}{2}}{lsen\alpha}\rightarrow V_M=\frac{V_B}{2lsen\alpha}[/tex3]
Quanto à aceleração não consegui resolver.
Espero ter minimamente ajudado.
[ ]'s.

[Auto Excluído (ID:12031)]

Esse exercício fica fácil se você usar geometria analítica e derivadas.

Vou colocar um eixo x e um eixo y na figura que vc desenhou.

ipho2.png (10.93 KiB) Exibido 3531 vezes

É fácil ver que as coordenadas do ponto B serão:

[tex3]R(B) = (\ell \cdot cos(\alpha) ,0)[/tex3]

e do ponto C serão:

[tex3]R(C) = (\ell/2 \cdot cos(\alpha) ,\ell/2 \cdot sen(\alpha))[/tex3]

pra qualquer que seja o ângulo [tex3]\alpha[/tex3] pois o comprimento da barra é uma constante.
Usando a relação vetorial da velocidade:

[tex3]v(P) =\frac{dR(P)}{dt}[/tex3]

no ponto B:

[tex3]v(B) =\frac{dR(B)}{dt} = (\frac{d(\ell \cdot cos(\alpha))}{dt},0) = (\ell \cdot -sen(\alpha)\frac{d\alpha}{dt},0)[/tex3]
[tex3](\ell \cdot -sen(\alpha)\frac{d\alpha}{dt},0)[/tex3]

como o enunciado diz que a velocidade [tex3]v(B)[/tex3] é constante então o módulo [tex3]v_{b}[/tex3] do vetor também o é:

[tex3]v_{b} = -\ell \cdot sen(\alpha)\frac{d\alpha}{dt}[/tex3]

ou:

[tex3]\frac{d\alpha}{dt} = -\frac{v_{b}}{\ell \cdot sen(\alpha)}[/tex3]

o sinal de menos é porque o ângulo [tex3]\alpha[/tex3] diminui conforme a barra vai para a direita.

Aplicando a mesma lei para o ponto C:

[tex3]v(C) =\frac{dR(C)}{dt} = (\frac{d(\ell/2 \cdot cos(\alpha))}{dt},\frac{d(\ell/2 \cdot sen(\alpha))}{dt}) = \ell/2 \cdot( -sen(\alpha),cos(\alpha))\frac{d\alpha}{dt}[/tex3]
[tex3]v(C) = -\frac{v_{b}}{\ell \cdot sen(\alpha)} \cdot \ell/2 (-sen(\alpha),cos(\alpha))[/tex3]
[tex3]v(C) = -\frac{v_{b}}{2 \cdot sen(\alpha)} (-sen(\alpha),cos(\alpha))[/tex3]

observe que o módulo do vetor velocidade do ponto C é:

[tex3]v_{c}= \frac{v_{b}}{2 \cdot sen(\alpha)}[/tex3]

continuando:

[tex3]v(C) = \frac{v_{b}}{2} (1,-\frac{cos(\alpha)}{sen(\alpha)})[/tex3]

Agora é fácil achar a aceleração basta derivar novamente a velocidade em relação ao tempo:

[tex3]a(P)=\frac{dv(P)}{dt}[/tex3]
[tex3]a(C)=\frac{dv(C)}{dt}= \frac{d(\frac{v_{b}}{2} (1,-\frac{cos(\alpha)}{sen(\alpha)}))}{dt}= \frac{v_{b}}{2} (0,\frac{1}{sen^{2}(\alpha)})\frac{d(\alpha)}{dt}[/tex3]
[tex3]a(C)= \frac{v_{b}}{2} (0,\frac{1}{sen^{2}(\alpha)})-\frac{v_{b}}{\ell \cdot sen(\alpha)}[/tex3]
[tex3]a(C)= -\frac{v_{b}^{2}}{2\ell} (0,\frac{1}{sen^{3}(\alpha)})[/tex3]

é fácil ver assim que o módulo desse vetor:

[tex3]a_{c}=\frac{v_{b}^{2}}{2\ell sen^{3}(\alpha)}[/tex3]

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Outro jeito de fazer é encontrando a aceleração do ponto A para que o ponto B possa se mover com velocidade constante e a barra não mudar de tamanho e tirando a média vetorial das acelerações de A e de B(B teria aceleração nula)

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Videoaula que resolve essa questão

https://www.youtube.com/watch?v=_hoeYQYgrrI

TOP!

[aleixoreis]

Obrigado pelas respostas.
[ ]'s.