Olimpíadas ⇒ Dígitos finais

[Natan]

Os dois últimos dígitos do número

[tex3]2^5+2^{5^1}+2^{5^2}+...+2^{5^{1991}}[/tex3]

são?

[Auto Excluído (ID:12031)]

Seja [tex3]n \neq 0[/tex3]:
[tex3]2^{5^{n}} \equiv b\, mod(100)[/tex3]
[tex3]2^{5^{n}} \cdot 2^{4 \cdot5^{n}} \equiv (b \cdot (2^{5^{n}})^{4})\, mod(100) \equiv b^5\,mod(100)[/tex3]
[tex3]2^{5^{n+1}} \equiv b^5 \, mod(100)[/tex3]

como

[tex3]2^{5^1} \equiv 32 \,mod(100)[/tex3]

temos que

[tex3]2^{5^2} \equiv (32)^5 \, mod(100) \equiv (32)^2(32)^2(32)\, mod(100) \equiv 24 \cdot 24 \cdot 32 \, mod(100) \equiv 76 \cdot 32 \, mod(100) \equiv 2432 \, mod(100)[/tex3]
[tex3]2^{5^2} \equiv 32 \, mod(100)[/tex3]

é fácil ver o que acontece agora: dado que acabamos de verificar que
[tex3]32^5 \equiv 32 \, mod(100)[/tex3]
segue que todos os termos da sequência dada acima terminam com os dígitos 32. Exceto o primeiro que é 2. Logo:

[tex3]2^{5^0}+2^{5^1}+2^{5^2}+...+2^{5^{1991}} \equiv (2 + 32 + 32 +... + 32) \, mod(100)[/tex3]
[tex3]2^{5^0}+2^{5^1}+2^{5^2}+...+2^{5^{1991}} \equiv (2+1991 \cdot 32) \, mod(100) \equiv 2 +91 \cdot 32\, mod(100) = 14 \, mod(100)[/tex3]

Logo os últimos dois dígitos dessa soma são 14