Ensino Médio ⇒ Trigonometria: Identidade Trigonométrica

[Daniel Hartmann]

Prove que

• [tex3]\text{tg}(81^\circ) - \text{tg}(63^\circ) - \text{tg}(27^\circ) + \text{tg}(9^\circ) = 4.[/tex3]

Olá pessoal. Eu pensei em usar as Prostaféresis, mas não há uma que expresse a fórmula para a função tangente, ou há?

[marco_sx]

Olá Daniel

[tex3]\text{tg}81^\circ - \text{tg}63^\circ - \text{tg}27^\circ + \text{tg}9^\circ = 4.[/tex3]

Vamos ver:

• [tex3]\text{tg}81^\circ + \text{tg}9^\circ = \frac{\text{sen} 81^\circ}{\cos 81^\circ}+\frac{\text{sen} 9^\circ}{ \cos 9^\circ} = \frac{\text{sen} 81^\circ . \cos 9^\circ + \text{sen} 9^\circ . \cos 81^\circ}{\cos 9^\circ . \cos 81^\circ} = \frac{\text{sen} 90^\circ}{\text{sen} 9^\circ . \cos 9^\circ} = \frac{2}{\text{sen} 18^\circ}[/tex3]
  
  [tex3]\text{tg}63^\circ + \text{tg}27^\circ = \frac{\text{sen} 63^\circ}{\cos 63^\circ} + \frac{\text{sen} 27^\circ}{ \cos 27^\circ} = \frac{\text{sen} 63^\circ . \cos 27^\circ + \text{sen} 27^\circ . \cos 63^\circ}{\cos 63^\circ . \cos 27^\circ } = \frac{\text{sen} 90^\circ}{\text{sen} 27^\circ . \cos 27^\circ} = \frac{2}{\text{sen} 54^\circ}[/tex3]

Portanto, temos:

• [tex3]\text{tg}81^\circ - \text{tg}63^\circ - \text{tg}27^\circ + \text{tg}9^\circ =[/tex3]
  
  [tex3]\frac{2}{\text{sen} 18^\circ}- \frac{2}{\text{sen} 54^\circ} =[/tex3]
  
  [tex3]2 . \(\frac{\text{sen} 54^\circ - \text{sen} 18^\circ}{\text{sen} 54^\circ.\text{sen} 18^\circ}\) =[/tex3]
  
  [tex3]2 . \(\frac{2\text{sen} 18^\circ . \text{sen} 36^\circ}{cos 36^\circ . \text{sen} 18^\circ}\) =[/tex3]
  
  [tex3]2 . 2 = 4[/tex3]

• c.q.d.

[Daniel Hartmann]

Obrigado pela ajuda marco_sx!