Ensino Médio ⇒ Polinômio Genérico Tópico resolvido

[manerinhu]

Encontre todos os polinômios [tex3]P(x)[/tex3], tais que [tex3]P(x^2 - 2x) = [P(x-2)]^2[/tex3]

Resposta

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[tex3]P(x) = (x+1)^n[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]P(x^2-2x)=[P(x-2)]^2[/tex3]
[tex3]P((x-1)^2-1)=[P((x-1)-1)]^2[/tex3]
[tex3]P(x)=a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)...(x-r_n)[/tex3]
[tex3]u = x-1[/tex3]
[tex3]P(u^2-1)=[P(u-1)]^2[/tex3]
[tex3]P(u^2-1)=a(u^2-1-r_1)(u^2-1-r_2)...(u^2-1-r_n)[/tex3]
[tex3][P(u-1)]^2=a^2(u-1-r_1)^2(u-1-r_2)^2...(u-1-r_n)^2[/tex3]
[tex3]a = a^2 \rightarrow a=0[/tex3](não convém) ou[tex3]a=1[/tex3]
igualando termo a termo:
[tex3](u-1-r_i)^2=(u^2-1-r_i)[/tex3]
[tex3]u^2 -2u(1+r_i) +(1+r_i)^2=u^2 - 1 - r_i[/tex3]
[tex3]-2u(1+r_i) + (1+r_i)^2 = - (1+r_i)[/tex3]
veja que como [tex3]x \in \mathbb{R} \rightarrow u\in \mathbb{R}[/tex3] como a expressão acima deve ser válida para todo [tex3]u[/tex3] devemos ter que o coeficiente que acompanha [tex3]u[/tex3] (no caso o [tex3]-2(1+r_i)[/tex3])) seja igual a zero sempre, ou seja [tex3]r_i=-1[/tex3] pra todo [tex3]i[/tex3]
como [tex3]a=1[/tex3] e [tex3]r_i=-1[/tex3]
[tex3]P(x) = (x+1)(x+1)(x+1)...(x+1) = (x+1)^n[/tex3]