Ensino Superior ⇒ Números Racionais e Irracionais - Enumerabilidade e Análise

[TATIANALIMA]

Olá colegas!
Estou fazendo o TCC de pós graduação (Especialização em Matemática/UFSJ) e tenho como tema os números irracionais e sua estrutura (ainda não defini o título da obra).
Para isso, tenho estudado sobre a enumerabilidade de Q, R, I, N e Z... fiz várias demonstrações a respeito dessas enumerabilidades. Após esses cálculos, meu professor orientador me fez algumas perguntas, as quais consegui responder sem dificuldade, devido à base que tive nas demonstrações anteriores.
Essas são as respostas:
Dados dois racionais a e b, existe uma quantidade infinita e enumerável de números racionais x, tais que a ≤ x ≤ b
Dados dois racionais c e d, existe uma quantidade infinita e não enumerável de números irracionais y, tais que c < y < d
Dados dois irracionais a e b, existe uma quantidade infinita e enumerável de números racionais x, tais que a < x < b
Dados dois irracionais c e d, existe uma quantidade infinita e não enumerável de números irracionais y, tais que c ≤ y ≤ d

Porém, quando enviei a ele essas respostas, ele disse: "Sim, está correto. Agora quero que demonstre cada resultado".
Aí que eu me embolei. A primeira foi fácil, pois a média aritmética de dois racionais será sempre racional, uma vez que Q é fechado com relação à adição, subtração, multiplicação e divisão. Como um subconjunto infinito M de um conjunto enumerável S, é também enumerável, dados dois racionais a e b, existe uma quantidade infinita e enumerável de racionais x, tais que a ≤ x ≤ b.
Na segunda proposição, utilizei como base a demonstração disponível no link https://www.youtube.com/watch?v=JDSSpK5VhmA
Só que neste caso, ele prova que existe pelo menos um irracional entre dois racionais. E o que eu preciso é provar que existem infinitos... e não-enumeráveis!
Daí, parti da ideia que posso proceder dessa forma indefinidamente, encontrando infinitos irracionais. Mas meu professor disse para eu provar que existe uma bijeção entre os intervalos. [0,1] e [c,d]. Mas não faço nem ideia de como fazer isso...

As outras duas, então... não consigo montar demonstração alguma. Já consultei livros e livros de análise e não encontro nada parecido. Espero que algum de vocês possa me ajudar!

Grata

[Cássio]

Tatiana, você sabe que existe uma quantidade infinita e enumerável de racionais em [tex3][a, b].[/tex3] Como são enumeráveis, vamos enumerá-los: [tex3]r_1, r_2, \ldots,[/tex3] Se você sabe que em cada [tex3][r_i, r_{i+1}][/tex3] existe um irracional, é possível então que existam finitos irracionais em [tex3][a, b]?[/tex3] (isso responde à questão da infinitude dos irracionais em [tex3][a, b][/tex3])
Pra provar a não-enumerabilidade, pense o seguinte: a união de um conjunto enumerável com um não enumerável resulta em que?

Quanto à bijeção entre [0, 1] e [c, d], pode fazer o seguinte: existe uma função [tex3]f[/tex3] de PRIMEIRO GRAU tal que [tex3]f(0)=c[/tex3] e [tex3]f(1)=d.[/tex3] Encontre tal função e verifique que é uma bijeção.