Ensino Superior ⇒ Integral Dupla - Região Limitada por Circunferência Tópico resolvido

[carlosa]

Podes me ajudar a achar o valor exato da seguinte integral dupla?
[tex3]\int\limits_{}^{} \int\limits_{}^{} x^{2} \sqrt{9-y^{2}}[/tex3] dA; R é a região limitada pela circunferência [tex3]x^{2} + y^{2}[/tex3]=9.

Fonte: Leithold, Edição 2.

[candre]

temos de realizar a seguinte integral.
[tex3]\iint_R x^2\sqrt{9-y^2}dA[/tex3]
onde:(interior de uma circunferência de raio [tex3]3[/tex3])
[tex3]R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\le9\}[/tex3]
integrando em relação a [tex3]x[/tex3] e depois a [tex3]y[/tex3], temos que nosso limite de integração sera:
[tex3]\iint_R x^2\sqrt{9-y^2}dA=
\int_{-3}^{3}\int_{-\sqrt{9-y^2}}^{+\sqrt{9-y^2}}x^2\sqrt{9-y^2}dxdy=
\int_{-3}^{3}\sqrt{9-y^2}\int_{-\sqrt{9-y^2}}^{+\sqrt{9-y^2}}x^2dxdy=\\ \\
\int_{-3}^{3}\sqrt{9-y^2}\frac{x^3}{3}\bigg|_{-\sqrt{9-y^2}}^{+\sqrt{9-y^2}}dy=
\frac{1}{3}\int_{-3}^{3}\sqrt{9-y^2}\left[\left(\sqrt{9-y}\right)^3-\left(-\sqrt{9-y^2}\right)^3\right]dy=\\ \\
\frac{1}{3}\int_{-3}^{3}\sqrt{9-y^2}\left[\left(\sqrt{9-y}\right)^3+\left(\sqrt{9-y^2}\right)^3\right]dy=\\ \\
\frac{2}{3}\int_{-3}^{3}\sqrt{9-y^2}\left(\sqrt{9-y}\right)^3dy=
\frac{2}{3}\int_{-3}^{3}\sqrt{9-y^2}\sqrt{9-y^2}(9-y^2)dy=\\ \\
\frac{2}{3}\int_{-3}^{3}(9-y^2)(9-y^2)dy=
\frac{2}{3}\int_{-3}^{3}(9-y^2)^2dy=\\ \\
\frac{2}{3}\int_{-3}^{3}y^4-18y^2+81dy=
\frac{2}{3}\int_{-3}^{3}y^4dy-\frac{36}{3}\int_{-3}^{3}y^2dy+\frac{162}{3}\int_{-3}^{3}dy=\\ \\
\frac{2}{3}\frac{y^5}{5}\bigg|_{-3}^{3}-\frac{36}{3}\frac{y^3}{3}\bigg|_{-3}^{3}+\frac{162}{3}y\bigg|_{-3}^{3}=\\ \\
\frac{2}{15}\left[3^5-(-3)^5\right]-\frac{36}{9}\left[3^3-(-3)^3\right]+\frac{162}{3}[3-(-3)]=\\ \\
\frac{2}{15}\left(3^5+3^5\right)-\frac{36}{9}\left(3^3+3^3\right)+\frac{162}{3}(3+3)=\\ \\
\frac{4}{15}3^5-\frac{72}{9}3^3+\frac{324}{\cancel{3}}{\cancel{3}}=
\frac{4}{15}243-\frac{72}{9}27+324=
\frac{4\cdot81}{5}-72\cdot3+324=\\ \\
\frac{324}{5}-216+324=
\frac{324}{5}+108=
\frac{324+540}{5}=
\frac{864}{5}=
172+\frac{4}{5}=
172,8[/tex3]