Ensino Superior ⇒ Cálculo Volume Sólido - Integral Tripla Tópico resolvido

[carlosa]

[tex3]\int\limits_{}^{} \int\limits_{}^{} \int\limits_{S}^{} \sqrt{x^2+y^2}[/tex3] dxdydz, onde S é o sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano z=4 e pelo cilindro [tex3]x^{2} + y^{2}[/tex3]=25.

[jedi]

mude para coordenadas cilindricas assim a integral ficaria

como a equação do cilindro é [tex3]x^2+y^2=5^2[/tex3]
e ele esta limitado ao primeiro octante então os limites de integração do raio seriam de 0 a 5 e do angulo de 0 a [tex3]\pi/2[/tex3]

teriamos tambem que [tex3]x^2+y^2=r^2[/tex3]

portanto a integral ficaria

[tex3]\int_{0}^{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{5}\sqrt{r^2}.r.dr.d\theta.dz[/tex3]

tente concluir e qualquer duvida comente

[carlosa]

De onde veio o r na integral, depois da raiz [tex3]\sqrt{a^{2}}[/tex3]?

[candre]

De onde veio o r na integral, depois da raiz [tex3]\sqrt{a^{2}}[/tex3]?

acho que veio do jacobiano de transformação:
[tex3]J(r,\theta,z)=\\ \\
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial \theta}&\frac{\partial x}{\partial z}\\
\frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial \theta}&\frac{\partial y}{\partial z}\\
\frac{\partial z}{\partial r}&\frac{\partial z}{\partial \theta}&\frac{\partial z}{\partial z}
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\frac{\partial}{\partial r}r\cos\theta&\frac{\partial}{\partial \theta}r\cos\theta&\frac{\partial}{\partial z}r\cos\theta\\
\frac{\partial}{\partial r}r\sin\theta&\frac{\partial}{\partial \theta}r\sin\theta&\frac{\partial}{\partial z}r\sin\theta\\
\frac{\partial}{\partial r}z&\frac{\partial}{\partial \theta}z&\frac{\partial}{\partial z}z
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\cos\theta&-r\sin\theta&0\\
\sin\theta&r\cos\theta&0\\
0&0&1
\end{vmatrix}=r\\ \\
dxdydz=rdrd\theta dz[/tex3]