Olimpíadas ⇒ Desigualdade entre reais positivos Tópico resolvido

[Cláudio02]

Mostre que

[tex3]\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1} \ge \dfrac{9}{3+a+b+c}[/tex3],

[tex3]\forall a,b,c \in \mathbb{R^{+}}[/tex3].

[PedroCunha]

Olá, Cláudio02.

Multiplicando tudo por [tex3](3+a+b+c)[/tex3], temos:

[tex3](3+a+b+c) \cdot \left( \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} \right) \geq 9 \therefore \\\\ \left[ (a+1) + (b+1) + (c+1)\right] \cdot \left( \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} \right) \geq 9 \therefore \\\\ \left( 1+1+1 + \frac{a+1}{b+1} + \frac{a+1}{c+1} + \frac{b+1}{a+1} + \frac{b+1}{c+1} + \frac{c+1}{a+1} + \frac{c+1}{b+1} \right) \geq 9 \therefore \\\\ \left( 3 + \left( \frac{a+1}{b+1} + \frac{b+1}{a+1} \right) + \left( \frac{a+1}{c+1} + \frac{c+1}{a+1} \right) + \left( \frac{b+1}{c+1} + \frac{c+1}{b+1} \right) \right) \geq 9[/tex3]

Vamos trabalhar com as expressões que estão entre os parênteses internos.

[tex3]S = \frac{a+1}{b+1} + \frac{b+1}{a+1} \therefore S = \frac{(a+1)^2 + (b+1)^2}{ab+a+b+1} \therefore S-2 = \frac{a^2+2a+1 + b^2+2b+1 - 2ab - 2a - 2b - 2}{ab+a+b+1} \therefore \\\\ S-2 = \frac{a^2-2ab+b^2}{ab+a+b+1} \therefore S-2 = \frac{(a-b)^2}{ab+a+b+1}[/tex3]

Como [tex3](a-b)^2 \geq 0 \text{ e } ab+a+b+1 \geq 0[/tex3], podemos falar que:

[tex3]\frac{(a-b)^2}{ab+a+b+1} \geq 0 \rightarrow \frac{a+1}{b+1} + \frac{b+1}{a+1} - 2 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{a+1}{b+1} + \frac{b+1}{a+1} \geq 2[/tex3]

Os outros parênteses são trabalhados de maneira análoga, de forma que chegamos em:

[tex3]\left( 3 + \left( \frac{a+1}{b+1} + \frac{b+1}{a+1} \right) + \left( \frac{a+1}{c+1} + \frac{c+1}{a+1} \right) + \left( \frac{b+1}{c+1} + \frac{c+1}{b+1} \right) \right) \geq 9 \\\\ \Leftrightarrow 3+2+2+2 \geq 9 \therefore 9 \geq 9, C.Q.D.[/tex3]

Att.,
Pedro

[Auto Excluído (ID:12031)]

Vamos aplicar a desigualdade das médias: [tex3]MA\geq MH[/tex3]
para os números reais:
[tex3]a+1[/tex3]
[tex3]b+1[/tex3]
[tex3]c+1[/tex3]
[tex3]MA:[/tex3]
[tex3]MA = \frac {a+1+b+1+c+1}{3} = \frac{a+b+c+3}{3}[/tex3]
[tex3]MH:[/tex3]
[tex3]MH = \frac{3}{\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}}[/tex3]
[tex3]MA\geq MH[/tex3]
[tex3]\frac{a+b+c+3}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}}[/tex3]
fácil ver que:
[tex3]\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{9}{a+b+c+3}[/tex3]

PS: Sua desigualdade é válida não só para os reais positivos mas para reais maiores que [tex3]-1[/tex3]. E a igualdade só ocorre se [tex3]a=b=c[/tex3]