IME / ITA ⇒ (ITA - 1993) Função Tópico resolvido

[kevin22]

(ITA-1993) Seja f:[tex3]\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] uma função não nula, ímpar r periódica de período p. Considere as seguintes informações:
I. f(p)[tex3]\neq 0[/tex3]
II. f(-x)= -f(x-p), para todo x real
III. f(-x)= f(x-p),para todo x real
IV. f(x)= -f(-x). para todo x real

Podemos concluir que:

(A)I e II são falsas
(B)I e III são falsas
(C)II e III são falsas
(D)I e IV são falsas
(E)II e IV são falsas

Resposta

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(B)

[PedroCunha]

Olá, kevin.

Primeiro, é preciso corrigir o seu enunciado. A afirmativa II é: [tex3]f(-x) = -f(x+p), \forall \,\, x \in \Re[/tex3]

I: Se [tex3]f[/tex3] é ímpar, então:

[tex3]f(0) = f(-0) \therefore f(0) = -f(0) \Leftrightarrow f(0) = 0[/tex3]

Sendo [tex3]f[/tex3] periódica com período [tex3]p[/tex3], temos:

[tex3]f(0+p) = f(0) \therefore f(p) = f(0) \Leftrightarrow f(p) = 0[/tex3]

Falsa

II: Verdadeira. Como [tex3]f[/tex3] é ímpar, [tex3]f(-x) = -f(x)[/tex3] e como [tex3]f[/tex3] é periódica com período [tex3]p[/tex3], [tex3]f(-x) = -f(x+p)[/tex3].

III: Falsa. Vide II.

IV: Verdadeira. Vem da definição de função ímpar. Temos:

[tex3]f(-x) = -f(x) \Leftrightarrow -1 \cdot f(-x) = -1 \cdot -f(x) \therefore -f(-x) = f(x)[/tex3]

Letra B.

Att.,
Pedro

[kevin22]

Creio que a II está correta pois f(x) = f(x + np) onde p é o periodo e n pertence aos inteiros. Quando n= -1 temos f(x)=f(x-p) e como f(x)=-f(-x) temos :
-f(x-p)=f(-x)

[PedroCunha]

O enunciado?

Não está; conferi na prova do ITA.

[kevin22]

Ah... tudo bem obrigado pela ajuda!!

[manerinhu]

o enunciado original está diferente dessa questão, mas p é arbitrário, entao -p também é um periodo (basta levar p -> -p), o que ainda assim torna II correta