Pré-Vestibular ⇒ (UDESC-SC 2013.1) - Inequação Modular

[luisfelipeRN]

Se [tex3]\alpha[/tex3] é o menor valor que satisfaz a inequação |1−8x| [tex3]\leq[/tex3] 3 e sen(y) = [tex3]\alpha[/tex3], então o valor da constante k, que satisfaz a igualdade sen(2y) = k cotg(y), é:

A: [tex3]\frac{1}{8}[/tex3]
B:[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
C:[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
D:[tex3]\frac{1}{16}[/tex3]
E:1

[csmarceloMOD]

[tex3]|1-8x|\leq3[/tex3]

Achando o zero da função:

[tex3]1-8x=0\rightarrow x=\frac{1}{8}[/tex3]

Logo,

[tex3]x\leq\frac{1}{8}\rightarrow |1-8x|=1-8x[/tex3]
[tex3]x>\frac{1}{8}\rightarrow |1-8x|=8x-1[/tex3]

Assim,

[tex3]x\leq\frac{1}{8}\rightarrow 1-8x\leq3\rightarrow x\geq\frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]x>\frac{1}{8}\rightarrow 8x-1\leq3\rightarrow x<\frac{1}{2}[/tex3]

Da análise dos intervalos, verifica-se que o menor valor possível para [tex3]x[/tex3] é [tex3]-\frac{1}{4}[/tex3].

[tex3]\sin y=-\frac{1}{4}\rightarrow\cos y=\pm\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex3]

[tex3]\cot y=\frac{\cos y}{\sin y}=\frac{\pm\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}}=\mp\sqrt{15}[/tex3]

[tex3]\sin 2y=k\cdot\cot y\rightarrow 2\sin y\cos y=k\cdot\cot y\rightarrow k\cdot\mp\sqrt{15}=\mp\frac{\sqrt{15}}{8}\rightarrow k=\frac{1}{8}[/tex3]

[luisfelipeRN]

até a parte de achar o zero da questão eu saquei, mas e depois? tem como me explicar assim mais detalhado?

Logo,

[tex3]x\leq\frac{1}{8}\rightarrow |1-8x|=1-8x[/tex3]
[tex3]x>\frac{1}{8}\rightarrow |1-8x|=8x-1[/tex3]

Assim,

[tex3]x\leq\frac{1}{8}\rightarrow 1-8x\leq3\rightarrow x\geq\frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]x>\frac{1}{8}\rightarrow 8x-1\leq3\rightarrow x<\frac{1}{2}[/tex3]

Da análise dos intervalos, verifica-se que o menor valor possível para [tex3]x[/tex3] é [tex3]-\frac{1}{4}[/tex3].

[tex3]\sin y=-\frac{1}{4}\rightarrow\cos y=\pm\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex3]

[tex3]\cot y=\frac{\cos y}{\sin y}=\frac{\pm\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}}=\mp\sqrt{15}[/tex3]

[tex3]\sin 2y=k\cdot\cot y\rightarrow 2\sin y\cos y=k\cdot\cot y\rightarrow k\cdot\mp\sqrt{15}=\mp\frac{\sqrt{15}}{8}\rightarrow k=\frac{1}{8}[/tex3]

[csmarceloMOD]

Logo,

[tex3]x\leq\frac{1}{8}\rightarrow |1-8x|=1-8x[/tex3]
[tex3]x>\frac{1}{8}\rightarrow |1-8x|=8x-1[/tex3]

O módulo de um número real corresponde à sua distância até o zero na reta real. Assim, por exemplo, temos que [tex3]|4|=|-4|=4[/tex3], pois os números 4 e -4 distam 4 unidades do zero.

Generalizando,

[tex3]|a|=\begin{cases}a,\text { se }a\geq0\\-a,\text { se }a<0\end{cases}[/tex3]

No nosso caso, [tex3]a=1-8x[/tex3] e, portanto,

[tex3]|1-8x|=\begin{cases}1-8x,\text { se }1-8x\geq0\rightarrow x\leq\frac{1}{8}\\-(1-8x)=8x-1,\text { se }1-8x<0\rightarrow x>\frac{1}{8}\end{cases}[/tex3]

Logo,

Para [tex3]x\leq\frac{1}{8}[/tex3], [tex3]|1-8x|\leq3\rightarrow 1-8x\leq3\rightarrow x\geq-\frac{1}{4}[/tex3]
Para [tex3]x>\frac{1}{8}[/tex3], [tex3]|1-8x|\leq3\rightarrow 8x-1\leq3\rightarrow x\leq\frac{1}{2}[/tex3]

No primeiro caso, que é valido para [tex3]x\leq\frac{1}{8}[/tex3], [tex3]x[/tex3] deve ser maior ou igual a [tex3]-\frac{1}{4}[/tex3] para atender a inequação. Logo, nesse caso, o intervalo válido para [tex3]x[/tex3] é [tex3]\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{8}\right][/tex3].

No segundo caso, que é valido para [tex3]x>\frac{1}{8}[/tex3], [tex3]x[/tex3] deve ser menor ou igual a [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] para atender a inequação. Logo, nesse caso, o intervalo válido para [tex3]x[/tex3] é [tex3]\left[\frac{1}{8},\frac{1}{2}\right][/tex3].

Analisando os dois intervalos, vemos que o menor valor que [tex3]x=\alpha[/tex3] pode assumir é [tex3]-\frac{1}{4}[/tex3].

Temos, então, que [tex3]\sen y=\alpha=-\frac{1}{4}[/tex3].

Pela Lei Fundamental da Trigonometria:

[tex3]\sen ^2\alpha+\cos ^2\alpha=1[/tex3]

Isolando [tex3]\cos \alpha[/tex3]:

[tex3]\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sen ^2\alpha}[/tex3]

E, portanto,

[tex3]\cos y=\pm\sqrt{1-\left(-\frac{1}{4}\right)^2}=\pm\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex3]

[tex3]\sen 2y[/tex3] pode ser calculado pela fórmula do arco duplo:

[tex3]\sen2\theta=2\sen\theta\cos\theta[/tex3]

Logo,

[tex3]\sen 2y=2\sen y\cos y=2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\left(\pm\frac{\sqrt{15}}{4}\right)=\mp\frac{\sqrt{15}}{8}[/tex3]

A cotangente é o inverso da tangente e, assim, sendo [tex3]\tan\alpha=\frac{\sen\alpha}{\cos\alpha}[/tex3], temos que [tex3]\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sen\alpha}[/tex3] e, portanto, [tex3]\cot y=\frac{\pm\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}}=\mp\sqrt{15}[/tex3]

O enunciado diz que:

[tex3]\sen2y=k\cdot\cot y[/tex3]

Substituindo os valores encontrados, temos que:

[tex3]\mp\frac{\sqrt{15}}{8}=k\cdot\mp\sqrt{15}\rightarrow k=\frac{1}{8}[/tex3]