Ensino Superior ⇒ Pontos de Encontro Entre Duas Curvas Tópico resolvido

[carlosa]

Como consigo encontrar os valor de X e Y de cruzamento das duas curvas abaixo?
[tex3]y^{2}[/tex3]=2x
e
[tex3]x^{2}[/tex3]=6y

Um destes pontos eu sei que é 0.
Qual é o outro?

[VALDECIRTOZZI]

As equações das curvas são:
[tex3]y^2=2x[/tex3] e [tex3]x^2=6y[/tex3].
Os pontos comuns às duas curvas são os pares ordenados [tex3](x,\ y)[/tex3] que satisfazem ao sistema:
[tex3]\begin{cases}
y^2=2x \\
x^2=6y
\end{cases}[/tex3]
Isolando [tex3]y[/tex3] na segunda equação: [tex3]y=\frac{x^2}{6}[/tex3] e substituindo esse resultado na primeira equação:
[tex3]\left(\frac{x^2}{6}\right)^2=2x[/tex3]
[tex3]\frac{x^4}{36}=2x[/tex3]
[tex3]x^4-72x=0[/tex3]
[tex3]x\cdot\left(x^3-72\right)=0[/tex3]
Dessa equação obtemos que:
[tex3]x=0 \ e \therefore y=0[/tex3]

ou

[tex3]x^3-72=0[/tex3]
[tex3]x=\sqrt[3]{72}[/tex3]
[tex3]x=2\cdot\sqrt[3]9[/tex3]

Substuindo na equação: [tex3]x^2=6y[/tex3]:
[tex3]\left(2\cdot\sqrt[3]9\right)^2=6y[/tex3]
[tex3]4\cdot \sqrt[3]{81}=6y[/tex3]
[tex3]4 \cdot \sqrt[3]{3^3 \cdot 3}=6y[/tex3]
[tex3]y=\frac{4\cdot3 \cdot \sqrt[3]3}{6}=2\cdot \sqrt[3]3[/tex3]

Espero ter ajudado!

[tex3]V=\left\{\left(0 \ , \ 0\right) \ ; \left(2\cdot\sqrt[3]9\ , 2\cdot\sqrt[3]3\right) \right\}[/tex3]