Ensino Médio ⇒ Função Seno Tópico resolvido

[naty_naty_n]

Na estação de trabalho de pintura de peças de uma fábrica, a pressão em um tambor de ar comprimido varia com o tempo conforme a expressão P(t)=50 + 50 sen(t-[tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]),
t [tex3]\gt[/tex3] 0. Assinale a alternativa em que o instante t corresponde ao valor minimo da pressão:

a) t=[tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

b) t=[tex3]\pi[/tex3]

c) t= [tex3]\frac{3 \pi}{2}[/tex3]

d) t= 2 [tex3]\pi[/tex3]

e) t= 3 [tex3]\pi[/tex3]



seria a resposta a????

[Karl Weierstrass]

Na estação de trabalho de pintura de peças de uma fábrica, a pressão em um tambor de ar comprimido varia com o tempo conforme a expressão [tex3]P(t)\,=\,50 \,+\, 50\, \text{sen}\,\left(t\,-\, \frac{\pi}{2} \right),\,t\,\gt\,0.[/tex3]
Assinale a alternativa em que o instante [tex3]t[/tex3] corresponde ao valor mínimo da pressão:

a) [tex3]t\,=\, \frac{\pi}{2} \hspace{40pt}[/tex3] b) [tex3]t\,=\,\pi\hspace{40pt}[/tex3] c) [tex3]t\,=\, \frac{3 \pi}{2} \hspace{40pt}[/tex3] d) [tex3]t\,=\, 2\pi\hspace{40pt}[/tex3] e) [tex3]t\,=\, 3\pi[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}\,50 \,+\, 50\, \text{sen}\,\left(t\,-\, \frac{\pi}{2}\right)[/tex3] assume o valor mínimo quando [tex3]\text{sen}\,\left(t\,-\, \frac{\pi}{2}\right)[/tex3] é mínimo, isto é, [tex3]\text{sen}\,\left(t\,-\, \frac{\pi}{2}\right)\,=\,-1.[/tex3] Logo,

[tex3]\hspace{120pt}\text{sen}\,\left(t - \frac{\pi}{2}\right) = -1 \Longrightarrow \text{sen}\,\left(t - \frac{\pi}{2}\right) = \text{sen}\,\frac{3\pi}{2} \Longrightarrow

\left\{
\begin{array}{ll}
t - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\, k \in \mathbb{Z} \\
t - \frac{\pi}{2} = \pi - \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\, k \in \mathbb{Z}
\end{array}
\right.
\Longrightarrow[/tex3]

[tex3]\hspace{120pt}\begin{cases}t\,=\,2\pi\,+\,2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\\t\,=\,2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\end{cases}[/tex3]

Dentre as alternativas, a única que apresenta um valor que pode ser obtido através das expressões acima é a (d) (faça [tex3]k\,=\,0[/tex3] em [tex3]t\,=\,2\pi\,+\,2k\pi)[/tex3].

O que você precisa saber?

[tex3]*\,\,\text{sen}\,\alpha\,=\,\text{sen}\,\beta\,\Longrightarrow\,\begin{cases}\alpha\,=\,\beta\,+\,2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\,\,\,\,\,\,\,(i)\\
\alpha\,=\,\pi\,-\,\beta\,+\,2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\,\,\,\,\,\,\,(ii)\end{cases}[/tex3]

[tex3]\hspace{40pt}(i)[/tex3] fornece os arcos côngruos a [tex3]\alpha.[/tex3]

[tex3]\hspace{40pt}(ii)[/tex3] fornece os arcos côngruos ao suplemento de [tex3]\alpha[/tex3] (dois arcos suplementares têm senos iguais).

[tex3]**[/tex3] A imagem da função seno é o intervalo [tex3][-1,\,1][/tex3].

[tex3]***[/tex3] Substituímos [tex3]\text{-}1[/tex3] por [tex3]\text{sen}\,\frac{3\pi}{2}[/tex3] pelo fato de que [tex3]\frac{3\pi}{2}[/tex3] é o menor arco da 1ª volta cujo seno é [tex3]\text{-}1.[/tex3]

[tex3]\,[/tex3]

[Bunnyhotss]

Como faria para calcular P para t= 7pi /3?

[rcompany]

[tex3]
\begin{array}{rl}
P(\frac{7\pi}{3})&=50-50\sin(\frac{7\pi}{3}-\frac{\pi}{2})\\
&=50-50\left(\sin(\frac{7\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{2})+\cos(\frac{7\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{2})\right)\\
&=50-50\cos(\frac{7\pi}{3})\\
&=50-50\cos(\frac{\pi}{3})\\
&=50(1-\dfrac{1}{2})=25
\end{array}

[/tex3]