IME / ITA ⇒ (ITA - 1997) Geometria Espacial: Tronco de Pirâmide Tópico resolvido

[Natan]

Dentro de um tronco de pirâmide quadrangular regular, considera-se uma pirâmide regular cuja base é a base maior do tronco e cujo vérice é o centro da base menor do tronco. As arestas das bases medem [tex3]a\, \text{cm}[/tex3] e [tex3]2a\, \text{cm}[/tex3]. As áreas laterais do tronco e da pirâmide são iguais. Calcular a altura do tronco da pirâmide.

[Karl Weierstrass]

Sejam [tex3]\overline{QP'}=m[/tex3] o apótema do tronco e [tex3]\overline{QO'}=n[/tex3] o apótema da pirâmide.

A área lateral do tronco é dada por

• [tex3]4 \,\cdot\, \frac{2a\,+\,a}{2}\,\cdot\, m\,=\,6am.[/tex3]

A área lateral da pirâmide é

• [tex3]4 \,\cdot\, \frac{2a\,\cdot\,n}{2}\,\cdot\,=\,4an.[/tex3]

Sabemos que [tex3]6am\,=\,4an[/tex3], o que implica em [tex3]n\,=\,\frac{3m}{2}.[/tex3]

• 

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Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo [tex3]O'OQ,[/tex3] obtemos

• [tex3]h^2\,=\,n^2\,-\,a^2\,=\,\frac{9m^2}{4}\,-\,a^2.\text{ }(i)[/tex3]

• 

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Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo [tex3]P'PQ[/tex3] vem

• [tex3]h^2\,=\,m^2\,-\,\frac{a^2}{4}.\hspace{50pt}(ii)[/tex3]

De [tex3](i)[/tex3] e [tex3](ii)[/tex3] encontramos [tex3]m^2\,=\,\frac{3a^2}{5}\,\Longrightarrow\, h\,=\, \frac{a\sqrt{35}}{10}.[/tex3]