Ensino Superior ⇒ Álgebra linear - Transformações lineares Tópico resolvido

[Tiagofb]

Verifique se a função abaixo é uma transformação linear.
T (ax² + bx + c) = [tex3]\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & c \\
\end{pmatrix}[/tex3] : [tex3]V\rightarrow W[/tex3], onde V é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e W é o espaço das matrizes de 2 x 2 triangulares superiores.

[jedi]

para ser uma transofrmação linear ela deve satisafazer a seguinte propriedade

[tex3]T(\alpha(a\cdot x^2+b\cdot x+c)+\beta(d\cdot x^2+e\cdot x+f))=\alpha\cdot T(a\cdot x^2+b\cdot x+c)+\beta\cdot T(d\cdot x^2+e\cdot x+f)[/tex3]

então temos

[tex3]T(\alpha(a\cdot x^2+b\cdot x+c)+\beta(d\cdot x^2+e\cdot x+f))=T((\alpha\cdot a+\beta\cdot d)\cdot x^2+(\alpha\cdot b+\beta\cdot e)\cdot x+\alpha\cdot c+\beta\cdot f)[/tex3]

[tex3]=\begin{pmatrix}\alpha\cdot a+\beta\cdot d&\alpha\cdot b+\beta\cdot e\\0&\alpha\cdot c+\beta\cdot f\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3]=\begin{pmatrix}\alpha\cdot a&\alpha\cdot b\\0&\alpha\cdot c\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\beta\cdot d&+\beta\cdot e\\0&\beta\cdot f\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3]=\alpha\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}d&e\\0&f\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3]=\alpha\cdot T(a\cdot x^2+b\cdot x+c)+\beta\cdot T(d\cdot x^2+e\cdot x+f)[/tex3]

portanto temos uma transformação linear