Olimpíadas ⇒ Números de Quatro Algarismos Tópico resolvido

[Cláudio02]

Quantos números de quatro algarismos [tex3]abcd[/tex3] são tais que [tex3]a+b=c+d[/tex3]?
OBS.:Note que [tex3]abcd[/tex3] não é o produto de [tex3]a[/tex3],[tex3]b[/tex3],[tex3]c[/tex3] e [tex3]d[/tex3], mas sim um número de algarismos [tex3]a[/tex3],[tex3]b[/tex3],[tex3]c[/tex3] e [tex3]d[/tex3].

[ttbr96]

fazendo a + b = c + d = k

k = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
o algarismo 'a' não pode ser 0

para k = 1
valores possíveis para o par (a, b): a = {1}, pois 1 - a dará um valor apropriado para b = {0}
valores possiveis para o par (c, d): c = {0, 1}, pois, para cada um desses valores, 1 - c dará um valor apropriado para d = {0, 1}

para k = 2
valores possiveis para o par (a, b): a = {1, 2}, pois, para cada um desses valores, 2 - a dará um valor apropriado para b = {0, 1}
valores possiveis para o par (c, d): c = {0, 1, 2} pois, para cada um desses valores, 2 - c dará um valor apropriado para d = {0, 1, 2}

para k = 9
valores possíveis para o par (a, b): a = {1, 2, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 9 - a dará um valor apropriado para b = {0, 1, ..., 8}
valores possíveis para o par (c, d): c = {0, 1, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 9 - d dará um valor apropriado para d = {0, 1, ..., 9}

note que para o par (a, b) podemos ter k possibilidades e para o par (c, d) podemos ter k + 1 possibilidades.
com isso, teremos, no total:

[tex3]1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + 9 \cdot 10 = 330[/tex3] números para k = {1, 2, ..., 9}


k = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}
o algarismos 'a' e 'b' não pode ser 0

para k = 10
valores possíveis para o par (a, b): a = {1, 2, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 10 - a dará um valor apropriado para b = {1, 2, ..., 9}
valores possíveis para o par (c, d): c = {1, 2, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 10 - c dará um valor apropriado para d = {1, 2, ..., 9}

para k = 11
valores possíveis para o par (a, b): a = {2, 3, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 11 - a dará um valor apropriado para b = {2, 3, ..., 9}
valores possiveis para o par (c, d): c = {2, 3, ..., 9}, pois, para cada um desses números, 11 - c dará um valor apropriado para d = {2, 3, ..., 9}

para k = 18
valor possível para o par (a, b): a = {9}, pois 18 - a dará um valor apropriado para b = {9}
valor possível para o par (c, d): c = {9}, pois 18 - c dará um valor apropriado para d = {9}

note que tanto para o par (a, b) quanto para o par (c, d) tem o mesmo número de possibilidades.
com isso, teremos, no total:

[tex3]9^2 + 8^2 + \cdots + 1^2 = 285[/tex3] números para k = {11, 12, ..., 18}

portanto, teremos 330 + 285 = 615 números abcd tais que a + b = c + d

presumo que seja isso.