IME / ITA ⇒ (CPACN - 1983) Geometria Plana

[bravoalpha]

Um triângulo de 30 cm de altura é dividido por duas paralelas perpendiculares a essa altura, em altura em três partes equivalentes. O maior dos segmentos em que ficou dividida essa altura por essas paralelas é :

(A) 5 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
(B) 6 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
(C) 10 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
(D) 15 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
(E) 20 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

[csmarceloMOD]

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Todos os três triângulos da imagem são semelhantes. Portanto, seus lados correspondentes são proporcionais.

Se as três partes são equivalentes, então,

[tex3]A_{\Delta ABC}=A_{\square BCED}=A_{\square DEGF}[/tex3]

Logo,

[tex3]A_{\Delta AFG}=3\cdot A_{\Delta ABC}[/tex3]

A fórmula da área de um triângulo é:

[tex3]\frac{bh}{2}[/tex3], onde [tex3]b[/tex3] é a sua base e [tex3]h[/tex3] é a altura correspondente.

Dada a base [tex3]b[/tex3] e altura [tex3]h[/tex3] de um triângulo [tex3]ABC[/tex3] e a base [tex3]b'[/tex3] e altura [tex3]h'[/tex3] de um triângulo [tex3]DEF[/tex3], tais que:

1) [tex3]b'=b\cdot k[/tex3]
2) [tex3]h'=h\cdot k[/tex3]
3) [tex3]\frac{b'h'}{2}=m\cdot\frac{bh}{2}[/tex3], então,

[tex3]\frac{(b\cdot k)(h\cdot k)}{2}=m\cdot\frac{bh}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{k^2bh}{2}=m\cdot\frac{bh}{2}[/tex3]
[tex3]k^2=m[/tex3]
[tex3]k=\sqrt{m}[/tex3]

Colocando em palavras, se dois triângulos são semelhantes (razão [tex3]k[/tex3]) e a área de um equivale a [tex3]m[/tex3] vezes a área do outro, então os lados do primeiro medirão [tex3]\sqrt{m}[/tex3] vezes os lados correspondentes do segundo.

Como [tex3]A_{\Delta AFG}=3\cdot A_{\Delta ABC}\ (m=3)[/tex3], temos que [tex3]AF=\sqrt{3}AB\ (k=\sqrt{3})[/tex3].

Assim,

[tex3]\sqrt{3}AB=30\rightarrow AB=10\sqrt{3}[/tex3]