Olimpíadas ⇒ (Torneio das Cidades) Soma Tópico resolvido

[Cássio]

São dados 10 números reais tais que a soma de quaisquer 4 deles é positiva. Mostre que a soma dos 10 números é positiva.

[RafaeldeLima]

Seja o conjunto dos números:

[tex3]X = (x_1,x_2,...,x_{10})[/tex3]

Seja [tex3]n[/tex3] a quantidade de números negativos nesse conjunto, então com certeza:

[tex3]n\leq 3[/tex3]

Pois do contrário poderíamos ter somas negativas, bastando escolher 4 números negativos.

Sem perda de generalidade, seja:


[tex3]x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq ... \leq x_9 \leq x_{10}[/tex3]


Lembrando que [tex3]n[/tex3] é a quantidade de números negativos no conjunto, então:


► Se [tex3]n = 0[/tex3], nada temos a demonstrar.


► Se [tex3]n=1[/tex3], sendo [tex3]x_1 < 0[/tex3], então basta que:


[tex3]|x_1| < x_2 \ + x_3 \ + x_4[/tex3]


► Se [tex3]n=2[/tex3], sendo [tex3]x_1 < 0 \ \ e \ \ x_2 <0[/tex3], então basta que:


[tex3]|x_1+x_2| < x_3 + x_4[/tex3]


► Se [tex3]n=3[/tex3], sendo [tex3]x_1 < 0 \ ,\ x_2 <0 \ \ e \ \ x_3<0[/tex3], então basta que:


[tex3]|x_1+ x_2 + x_3| < x_4[/tex3]