Pré-Vestibular ⇒ (UFG-GO) Função Exponencial Tópico resolvido

[RickMath]

A teoria da cronologia do carbono, utilizada para determinar a idade de fósseis, baseia-se no fato de que o isótopo do carbono 14 (C-14) é produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio e que a quantidade de C-14 na atmosfera é a mesma que está presente nos organismos vivos. Quando um organismo morre, a absorção de C-14, através da respiração ou alimentação, cessa, e a quantidade de C-14 presente no fóssil é dada pela função C(t) = Co [tex3]10^{kt}[/tex3], onde t é dado em anos a partir da morte do organismo, Co é a quantidade de C-14 para t = 0 e n é uma constante. Sabe-se que 5 600 anos após a morte, a quantidade de C-14 presente no organismo é a metade da quantidade inicial (quando t = 0).
No momento em que um fóssil foi descoberto, a quantidade de C-14 medida foi de [tex3]\frac{Co}{32}[/tex3]. Tendo em vista estas informações, calcule a idade do fóssil no momento em que ele foi descoberto.

Resposta do Livro: 28000 anos

[ttbr96]

função: [tex3]C(t) = Co \cdot 10^{kt}[/tex3]

Sabe-se que 5 600 anos após a morte, a quantidade de C-14 presente no organismo é a metade da quantidade inicial (quando t = 0).
Então:
[tex3]C(5600) = \frac{Co}2[/tex3]

consequentemente:
[tex3]C(5600) = Co \cdot 10^{5600k} \\\\\\
\frac{Co}2 = Co \cdot 10^{5600k} \\\\\\
10^{5600k} = \frac12[/tex3]

No momento em que um fóssil foi descoberto, a quantidade de C-14 medida foi de [tex3]\frac{Co}{32}[/tex3]
com isso:
[tex3]C(t) = \frac{Co}{32}[/tex3]

logo:
[tex3]\frac{Co}{32} = Co \cdot 10^{kt} \\\\\\
10^{kt} = \frac1{32} = \left( \frac12 \right)^5[/tex3]

portanto:
[tex3]10^{kt} = (10^{5600k})^5 \\\\\\
10^{kt} = 10^{28000k} \\\\\\
t = 28000[/tex3]

[Argean]

ttbr96, brilhante sacada, fazer [tex3]10^{kt} = (10^{5600k})^5[/tex3]

estava aqui, me batendo nessa questão sem achar um caminho. Incrível com a criatividade é importante na matemática.