Pré-Vestibular ⇒ (Mackenzie) Progressão aritmética Tópico resolvido

[Rodrigues]

Se ([tex3]2^{x}[/tex3] + 1) + ([tex3]2^{x}[/tex3] +3) + ( [tex3]2^{x}[/tex3] + 5) +...+ ([tex3]2^{x}[/tex3] + 25) = 273, então [tex3]2^{-x}[/tex3] vale:

a) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{8}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{16}[/tex3]
e) [tex3]\frac{1}{32}[/tex3]

Resposta: Letra C

Obs.: achei a opção D como reposta, gostaria de uma ajuda para saber onde estou errando

[PedroCunha]

Olá, Rodrigues.

Veja:

[tex3](2^x + 1) + (2^x + 3) + (2^x+5) + \dots + (2^x + 25) = 273 \therefore \\\\ \underbrace{(2^x + 2^x + 2^x + \dots 2^x)}_{=n \times 2^x} + (1 +3 + 5 + \dots + 25) = 273[/tex3]

Onde [tex3]n[/tex3] tem o mesmo valor do número de termos da progressão [tex3](1,3,5,\dots 25)[/tex3].

Temos:

[tex3]a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \therefore 25 = 1 + (n-1) \cdot 2 \therefore 24 = 2n - 2 \therefore n = 13[/tex3]

Além disso, a soma dentro do segundo par de parênteses vale:

[tex3]S = \frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2} \therefore S = \frac{26 \cdot 13}{2} \therefore S = 169[/tex3]

Voltando na expressão:

[tex3]13 \cdot 2^x + 169 = 273 \therefore 13 \cdot 2^x = 104 \therefore 2^x = 8 \Leftrightarrow x = 3 \Leftrightarrow 2^{-x} = \frac{1}{8}[/tex3]

Att.,
Pedro

[Rodrigues]

Entendi meu erro, quando coloquei o [tex3]2^{x}[/tex3] em evidência esqueci de multiplicá-lo pelo número de termos da P.A.

Valeu mesmo Pedro!