Ensino Médio ⇒ Conjunto das Partes Tópico resolvido

[lipedavila]

Estou com uma questão interessante, cuja resposta óbvia me parece errada.

É correta a afirmação que diz [tex3]A \not{\subset} P(A)?[/tex3]
A respeito: [tex3]A[/tex3] em relação a [tex3]P(A),[/tex3] é elemento, então não deveria usar a relação de inclusão, afirmação errada. Mas, [tex3]A[/tex3] e [tex3]P(A)[/tex3] são conjuntos, então posso relacioná-los usando relações de inclusão, onde a afirmação passa a ser correta.
[tex3]A \in P(A).[/tex3] Mas [tex3]A[/tex3] é um conjunto e [tex3]P(A)[/tex3] também é um conjunto, então, apesar de [tex3]A[/tex3] ser elemento de [tex3]P(A),[/tex3] eu ainda assim posso relacioná-los através da relação de inclusão? Isso tornaria verdadeira a afirmação [tex3]A \not{\subset} P(A)[/tex3].

Essa é a minha questão. Posso usar a relação de inclusão, ou por ser [tex3]A[/tex3] elemento de [tex3]P(A)[/tex3] nenhuma relação de inclusão pode ser usada para relacionar os conjuntos [tex3]A[/tex3] e [tex3]P(A)?[/tex3]
Acho que ficou claro, se alguem se habilitar....

[cajuADMIN]

Olá lipedavila,

Vou começar com uma rápida teoria e aplicá-la no seu exercício.

Utilizarei para exemplo o conjunto

[tex3]A=\{3,4,5\}[/tex3]

Note que ele possui três elementos. Cada elemento é um número.
Podemos escrever:

[tex3]3\in A[/tex3]
[tex3]4\in A[/tex3]
[tex3]5\in A[/tex3]

Pois cada um dos citados à esquerda do símbolo [tex3]\in[/tex3] estão dentro das chaves do conjunto [tex3]A.[/tex3]

Agora, se escrevermos diferentemente no lado esquerdo do símbolo, não teremos mais uma verdade. Ou seja:

[tex3]\{3\}\notin A[/tex3]
[tex3][4]\notin A[/tex3]
[tex3](5)\notin A[/tex3]

Só podemos utilizar o símbolo de pertence [tex3](\in)[/tex3] para elementos.
Nos últimos exemplos citamos que [tex3]\{3\}[/tex3] não pertence à [tex3]A,[/tex3] pois não é elemento de [tex3]A.[/tex3]

Mas isso não quer dizer que um conjunto não possa ter um outro conjunto como elemento.
Por exemplo, o conjunto

[tex3]B=\{1,2,\{3\}\}[/tex3]

O conjunto [tex3]B[/tex3] possui três elementos, o [tex3]1,[/tex3] o [tex3]2[/tex3] e o [tex3]\{3\}.[/tex3] Portanto, podemos escrever:

[tex3]1\in A[/tex3]
[tex3]2\in A[/tex3]
[tex3]\{3\}\in A[/tex3]

Mas com [tex3]\{2\}[/tex3] não seria possível, pois [tex3]\{2\}[/tex3] não é elemento de [tex3]B,[/tex3] mas [tex3]2[/tex3] é elemento de [tex3]B.[/tex3]

Com o conjunto das partes, é a mesma coisa. Vamos pegar outro exemplo:

[tex3]C=\{7,8\}[/tex3]

O conjunto das partes de [tex3]C[/tex3] é:

[tex3]P(C)=\{\emptyset,\{7\},\{8\},\{7,8\}\}[/tex3]

Ou seja, [tex3]7\notin P(C)[/tex3] mas [tex3]\{7\}\in P(C)[/tex3]

A mesma coisa para [tex3]\{7,8\}\in P(C)[/tex3]. Mas como [tex3]\{7,8\}[/tex3] é o próprio [tex3]C,[/tex3] podemos escrever [tex3]C\in P(C)[/tex3].

Agora, para um conjunto estar contido em outro, todos os seus elementos devem pertencer ao outro conjunto. Ou seja, para [tex3]C=\{7,8\}[/tex3] estar contido em [tex3]P(C),[/tex3] deveríamos ter [tex3]7\in P(C)[/tex3] e [tex3]8\in P(C)[/tex3]. Como sabemos que isto não é verdade, não podemos dizer que [tex3]C[/tex3] está contido em [tex3]P(C).[/tex3]