Ensino Superior ⇒ Demonstração: Uma aplicação da Desigualdade das Médias

[Thadeu]

Mostre que se [tex3]x_1\,,\,x_2\,,\,x_3\,,\,x_4\,,\,.\,.\,.\,x_n[/tex3] são números positivos, então:

• [tex3]\frac{x_1}{x_2}\,+\,\frac{x_2}{x_3}\,+\,\frac{x_3}{x_4}\,+\,.\,.\,.\,+\,\frac{x_{n-1}}{x_n}\,+\,\frac{x_n}{x_1}\,\geq\,n[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Pela desigualdade das médias, segue que

• [tex3]\frac{x_1}{x_2}\,+\,\frac{x_2}{x_3}\,+\,\frac{x_3}{x_4}\,+\,\cdots\,+\,\frac{x_{n-1}}{x_n}\,+\,\frac{x_{n}}{x_1}\,\geq\,n\sqrt[n]{\frac{x_1}{x_2}\,\cdot\,\frac{x_2}{x_3}\,\cdot\,\frac{x_3}{x_4}\,\cdot\,\cdots\,\cdot\,\frac{x_{n-1}}{x_n}\,\cdot\,\frac{x_{n}}{x_1}}\,=\,n\sqrt[n]{1}\,=\,n.[/tex3]

[triplebig]

Você demonstrou que essa propriedade é valida para a média entre dois números, agora, eu sei que é lógico que seja válida para mais valores, mas como demonstrar isso com rigor matemático?

Podia aproveitar esse tópico pra colocar?

[Karl Weierstrass]

Uma referência.

Recomendo fortemente o livro Meu Professor de Matemática e outras histórias de Elon Lages Lima, editado pela SBM.

Abraço.