Pré-Vestibular ⇒ (ENEM 2011 - 2ª aplicação) Funções

[Megaparsec]

Um programador visual deseja modificar uma imagem, aumentando seu comprimento e mantendo sua largura.
As figuras 1 e 2 representam, respectivamente, a imagem original e a transformada pela duplicação do comprimento.

A.png (54.83 KiB) Exibido 9357 vezes

Para modelar todas as possibilidades de transformação no comprimento dessa imagem, o programador precisa descobrir os padrões de todas as retas que contêm os segmentos que contornam os olhos, o nariz e a boca e, em seguida, elaborar o programa.

No exemplo anterior, o segmento [tex3]A_{1} B_{1}[/tex3] da figura 1, contido na reta [tex3]r_{1}[/tex3], transformou-se no segmento [tex3]A_{2} B_{2}[/tex3] da figura 2, contido na reta [tex3]r_{2}[/tex3].

Suponha que, mantendo constante a largura da imagem, seu comprimento seja multiplicado por n, sendo n um número inteiro e positivo, e que, dessa forma, a reta [tex3]r_{1}[/tex3] sofra as mesmas transformações. Nessas condições, o segmento [tex3]A_{n} B_{n}[/tex3] estará contido na reta [tex3]r_{n}[/tex3].

A equação algébrica que descreve [tex3]r_{n}[/tex3], no plano cartesiano, é

A) nx + 2ny = 6n.
B) nx + ny = 3n.
C) x − ny = 3n.
D) x + ny = 3n.
E) x − ny = − n.

Resposta

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Letra A

[csmarceloMOD]

Megaparsec,

O gabarito está incorreto.

Se [tex3]n[/tex3] é um valor positivo, podemos dividir a equação [tex3]nx+2ny=6n[/tex3] por [tex3]n[/tex3] sem prejuízo algum, logo, a equação reduzida da reta [tex3]r_n[/tex3] seria equivalente a:

[tex3]\frac{nx+2ny=6n}{n}\rightarrow x+2y=6[/tex3]

, ou seja, o valor de [tex3]n[/tex3] não teria impacto algum na posição da reta.

Vamos, então, analisar o problema para descobrir a equação real da reta [tex3]r_n[/tex3].

Pela análise dos gráficos fornecidos, percebe-se que um dado que não muda é o ponto de coordenadas [tex3](0,3)\in r_n[/tex3]. Assim, se descobrirmos o coeficiente angular da reta [tex3]r_n[/tex3] conseguiremos descobrir sua equação.

Em sua posição inicial, a reta [tex3]r(r_1)[/tex3] forma um triângulo retângulo isósceles com os eixos do plano, cujos catetos possuem medida igual a 3u.m. Repare que, ao multiplicarmos o comprimento da imagem por [tex3]n[/tex3], o comprimento do cateto horizontal, consequentemente, também será multiplicado por [tex3]n[/tex3].

Untitled.png (16.28 KiB) Exibido 9321 vezes

No desenho, [tex3]m(AC')=3n[/tex3], ou seja, [tex3]n[/tex3] vezes o comprimento de [tex3]AC[/tex3], e, assim, temos que [tex3]\tan\alpha=\frac{3}{3n}=\frac{1}{n}[/tex3]

Como [tex3]\beta[/tex3] é suplementar de [tex3]\alpha[/tex3], ou seja, [tex3]180^\circ-\alpha=\beta[/tex3], então [tex3]\tan\beta=-\tan\alpha=-\frac{1}{n}[/tex3].

Mas veja que [tex3]\tan\beta[/tex3] corresponde ao coeficiente angular de [tex3]r_n[/tex3] e, portanto,

[tex3]r_n:\begin{cases}m=-\frac{1}{n}\\3=a\cdot0+b\end{cases}\rightarrow r_n:x+ny=3n[/tex3]