Ensino Superior ⇒ Grupo e Classes laterais

[EANDRIOLI]

Amiguinhos, preciso da ajuda dos mestres da àlgebra com a seguinte questao:

- Dado o grupo ZxZ2 (produto direto), ache toas as classes laterais, à esquerda, do subgrupo H = {0} x Z2.


Obs.: o numero 2 dos Z2 acima deve ser lido como índice.

Muito agradecido.

ERASMO

[kluis37]

O grupo em questão é [tex3]\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_2[/tex3] e o subgrupo considerado é [tex3]\{0\}\times\mathbb{Z}_2[/tex3]. Lembrando que a estrutura de grupo do produto cartesiano de grupos é simplesmente fazer o produto coordenada a coordenada.

Dado um elemento da forma [tex3](z,h) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_2[/tex3] a classe lateral deste será:

[tex3](z,h) + \{0\}\times\mathbb{Z}_2 = \{(z,0);(z,1)\}[/tex3].

Portanto é fácil concluir que o conjunto [tex3]C = \{\{(z,0);(z,1)\} : z \in \mathbb{Z}\}[/tex3] tem todas as classes laterais. O interessante aqui é observar que, as classes estão colocando "no mesmo saco" os caras cuja segunda coordenada é "0" ou "1" e quando você fizer o quociente de grupos é como se você "cortasse" o grupo [tex3]\mathbb{Z}_2[/tex3] do produto cartesiano de grupos. O que quero dizer é que quando fizer [tex3]\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_2/\{0\}\times\mathbb{Z}_2 \simeq Z[/tex3].