Pré-Vestibular ⇒ (UNIFESO 2014) Geometria Tópico resolvido

[Kharyne]

A figura a seguir ilustra uma janela formada por um retângulo de
68 cm de largura por 45 cm de altura encimado por uma moldura
arqueada que corresponde a uma semielipse cuja distância focal
é 60 cm.
A altura H da janela é
(A) 53 cm
(B) 61 cm
(C) 68 cm
(D) 75 cm
(E) 87 cm

[PedroCunha]

Olá.

Coloquei tudo em um plano cartesiano:

*Obs.: No triângulo retângulo a hipotenusa é a e não c *

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Considere a elipse de focos [tex3]F_1(4,45)[/tex3] e [tex3]F_2(64,45)[/tex3], centro em [tex3]O(34,45)[/tex3] e que tem vértices horizontais [tex3]A(0,45)[/tex3] e [tex3]C(68,45)[/tex3]. Sua distância focal é 60 cm. Assim, [tex3]2c = 60 \Leftrightarrow c = 30 \,\, cm[/tex3]. Sua equação é da forma:

[tex3]\frac{(x-x_O)^2}{a^2} + \frac{(y-y_O)^2}{b^2} = 1 \Leftrightarrow \frac{(x-34)^2}{a^2} + \frac{(y-45)^2}{b^2} = 1[/tex3]

Sabendo que ela passa pelo ponto A, temos:

[tex3]\frac{(0-34)^2}{a^2} + \frac{(45-45)^2}{b^2} = 1 \therefore 34^2 =a^2 \Leftrightarrow, a > 0: a =34[/tex3]

Como em qualquer elipse vale a relação [tex3]a^2 = b^2 + c^2[/tex3], temos:

[tex3]34^2 = b^2 + 30^2 \Leftrightarrow, b >0: b = 16[/tex3]

Logo, a altura H da janela é [tex3]45+16 = 61 \,\, cm[/tex3]

Você tem o gabarito?

Att.,
Pedro

[Kharyne]

B) 61
Mais uma vez certíssimo