Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica: Área de um Polígono Tópico resolvido

[rean]

Seja [tex3]ABCD[/tex3] um quadrado de lado [tex3]1[/tex3] e sejam [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] os pontos médios dos lados [tex3]BC[/tex3] e [tex3]CD,[/tex3] respectivamente. Traçando-se os segmentos [tex3]AM[/tex3] e [tex3]NB,[/tex3] calcule as áreas das cinco regiões em que ficou dividido o quadrado.

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[Karl Weierstrass]

Vou aproveitar esse exercício para mostrar a generalização do método empregado neste outro problema.

A área [tex3]S[/tex3] do polígono (convexo ou não) de vértices [tex3]P_1(x_1,\,y_1),[/tex3] [tex3]P_2(x_2,\,y_2),\, \cdots,\,P_n(x_n,\,y_n)[/tex3] pode ser dada por:

• [tex3]S=\frac{1}{2} |\,\left| \begin{array}{cccc}x_1 && x_2 && \cdots &&x_n&&x_1\\y_1 && y_2 && \cdots && y_n&&y_1\end{array}\right||[/tex3]

Para aplicarmos a fórmula com sucesso, é necessário representar os vértices no sistema de eixos cartesianos e tomá-los na ordem circular (sentido horário ou anti-horário).

Passemos à solução.

Tomando convenientemente o vértice [tex3]A[/tex3] como origem do sistema de eixos cartesianos, vem

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• [tex3]A(0,\,0),\, B(1,\,0),\, C(1,\,1),\, D(0,\,1),\, M(1/2,\, 0)[/tex3] e [tex3]N(1/2,\,1).[/tex3]

Seja [tex3]P[/tex3] o ponto de intersecção das retas [tex3]AM[/tex3] e [tex3]BN.[/tex3]

Temos que a equação da reta [tex3]AM[/tex3] é

• [tex3]y\,-\,0\,=\,\frac{\frac{1}{2}\,-\,0}{1\,-\,0}(x\,-\,0)\,\Longrightarrow\, y\,=\,\frac{x}{2}.[/tex3]

A equação da reta [tex3]BN[/tex3] é dada por

• [tex3]y\,-\,0\,=\,\frac{1\,-\,0}{\frac{1}{2}\,-\,1}(x\,-\,1)\,\Longrightarrow\, y\,=\,-2x\,+\,2.[/tex3]

Resolvendo o sistema formado pelas equações de [tex3]AM[/tex3] e [tex3]BN,[/tex3] encontramos [tex3]P(4/5,\,2/5).[/tex3]

Portanto,

• [tex3][ADN]=\frac{1}{2} |\,\left| \begin{array}{cccc}
  0 && 0 && 1/2 && 0 \\
  0 && 1 && 1 && 0 \end{array}\right||\,=\,\frac{1}{4}\,\text{u.a.}[/tex3]

• [tex3][ANP]=\frac{1}{2} |\,\left| \begin{array}{cccc}
  0 && 1/2 && 4/5 && 0 \\
  0 && 1 && 2/5 && 0 \end{array}\right||\,=\,\frac{3}{10}\,\text{u.a.}[/tex3]

• [tex3][NPMC]=\frac{1}{2} |\,\left| \begin{array}{cccc}
  0 && 1/2 && 4/5 && 0 \\
  0 && 1 && 2/5 && 0 \end{array}\right||\,=\,\frac{1}{5}\,\text{u.a.}[/tex3]

• [tex3][MPB]=\frac{1}{2} |\,\left| \begin{array}{cccc}
  1 && 1 && 4/5 && 1 \\
  0 && 1/2 && 2/5 && 0 \end{array}\right||\,=\,\frac{1}{20}\,\text{u.a.}[/tex3]

• [tex3][APB]=\frac{1}{2} |\,\left| \begin{array}{cccc}
  0 && 4/ && 5 && 0 \\
  0 && 2/5 && 0 && 0 \end{array}\right||\,=\,\frac{1}{5}\,\text{u.a.}[/tex3]