Ensino Superior ⇒ Forma Canônica Tópico resolvido

[AnaBela]

Me ajude a fazer a forma canônica, desta função quadrática f(x) = [tex3]x^{2}[/tex3]-4x+3 para a determinação das raízes' pois, eu não estou conseguindo achar no final.

[PedroCunha]

Olá.

A forma canônica geral de uma equação quadrática é:

[tex3]f(x) = a \cdot \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac-b^2}{4a^2}\right ][/tex3]

Na equação dada, [tex3]a = 1, b =-4, c = 3[/tex3], assim:

[tex3]f(x) = 1 \cdot \left[ \left(x + \frac{-4}{2} \right)^2 + \frac{4 \cdot 1 \cdot 3 - (-4)^2}{4 \cdot 1^2} \right] \therefore f(x) = (x-2)^2 -1 \therefore \\\\ f(x) = (x-2)^2 - 1^2 \therefore f(x) = (x-2+1) \cdot (x-2-1) \therefore f(x) = (x-1) \cdot (x-3)[/tex3]

É isso?

Att.,
Pedro

[AnaBela]

Olá Pedro, aqui no meu livro a forma canônica é esta' não estou conseguindo desenvolve-la na função' para achar as raízes [tex3]f(x) = a \cdot \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2- \left(\frac{\Delta }{4a^{2}}\right)\right ][/tex3]

[PedroCunha]

É a mesma coisa, Ana.

Veja que [tex3]-\frac{\triangle}{4a^2}[/tex3] é a mesma coisa que [tex3]-\frac{b^2-4ac}{4a^2} = \frac{4ac-b^2}{4a^2}[/tex3].

Basta lembrar que [tex3]\triangle = b^2 - 4ac[/tex3] que sai fácil, .

Att.,
Pedro

[AnaBela]

Ahhh'' entendi Pedro' você inverteu, legal mas, consegui até um certo ponto e parei aqui: f(x) = [tex3](x-2^{2})-1[/tex3] agora não sei como continuar' e alias porque no seu continuou assim: f(x) = [tex3](x-2^{2})-1^{2}[/tex3]?

[PedroCunha]

Olá.

Se você tiver chegado em [tex3](x-2^2) - 1[/tex3] e não [tex3](x-2)^2 - 1[/tex3], existe um erro. Supondo que você chegou em [tex3](x-2)^2 - 1[/tex3], o que ocorre é a aplicação do produto notável [tex3]a^2-b^2 = (a+b)(a-b)[/tex3]. Assim, [tex3](x-2)^2 - 1^2 = (x-2+1) \cdot (x-2-1) = (x-1)(x-3)[/tex3]

Qualquer dúvida é só falar, .

[AnaBela]

Está indo', mas não seria apenas aplicar o produto da soma pela diferença em ([tex3]x-2)^{2}[/tex3], que ficaria: ([tex3]x-2)[/tex3].([tex3]x+2)[/tex3] e também porque o 1 foi elevado ao quadrado e ficou em um +1 e no outro -1??

[PedroCunha]

Não. Você está confundindo as coisas.

Veja que [tex3](x-2)^2 = (x-2) \cdot (x-2) = x^2 - 2x - 2x + 4 = x^2 -4x + 4[/tex3]. Esse é o produto notável [tex3](a-b)^2 = a^2-2ab+b^2[/tex3].

O que eu fiz foi: [tex3](x-2)^2 - 1[/tex3]. Veja que [tex3]1 = 1^2[/tex3]. Assim, podemos reescrever a expressão como [tex3](x-2)^2 - 1^2[/tex3].

Aqui, vem o outro produto notável: [tex3]a^2-b^2 = (a+b) \cdot (a-b)[/tex3]. Logo,

[tex3](x-2)^2 - 1^2 = (x-2+1) \cdot (x-2-1) \therefore (x-1) \cdot (x-3)[/tex3]

Entende?

Att.,
Pedro

[AnaBela]

Uffa' entendi Pedro, então as raízes serão: 1 e 3?
Poxa Muito Obrigado pela paciência tha' e pela explicação'

[PedroCunha]

Isso mesmo. Precisando é só falar.