Olimpíadas ⇒ (URSS) Aritmética Tópico resolvido

[Henrique10]

Prove que o total de pessoas que "apertaram as mãos" um número ímpar de vezes deve ser um número par.

[PedroCunha]

Olá, Henrique.

O total de apertos de mão é dado por [tex3]\frac{ n \cdot (n-1)}{2}[/tex3], onde [tex3]n[/tex3] é o número de pessoas. Assim, seja [tex3]k[/tex3] o número de apertos, com [tex3]k \in \{1,3,5,7,9 \dots \}[/tex3]. Temos:

[tex3]n \cdot k = \frac{n \cdot (n-1)}{2}[/tex3]

Note que para qualquer [tex3]n \in \mathbb{N}[/tex3], [tex3]n \cdot (n-1) \in \{0,2,4,6,8 \dots \}[/tex3], ou seja, o produto é par. Ora, se [tex3]k[/tex3] é ímpar, então, necessariamente, [tex3]n[/tex3] tem que ser par, pois do contrário teríamos um número ímpar na esquerda e um par na direita, o que é impossível.

Att.,
Pedro