Pré-Vestibular ⇒ (Cescem - 1972) P.G. Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

A soma da série
[tex3]\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}+\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{3^{n+1}}+\cdot\cdot\cdot=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}\right)[/tex3] é:
a) [tex3]\frac{5}{3}[/tex3]
b) [tex3]1[/tex3]
c) [tex3]\frac{3}{2}[/tex3]
d) [tex3]2[/tex3]
e) [tex3]\infty[/tex3]

Resposta

---

c

[PedroCunha]

Olá, Carlos.

Note que [tex3]\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n} \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n}[/tex3]

A primeira é uma soma de P.G. infinita de primeiro termo [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] e razão meio. Assim, sua soma vale:

[tex3]S = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = 1[/tex3]

A segunda é uma soma de P.G. infinita de primeiro termo [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] e razão [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]. Assim, sua soma vale:

[tex3]S = \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}[/tex3]

Logo, o valor pedido é [tex3]1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}[/tex3]

Att.,
Pedro