IME / ITA ⇒ (AFA - 2013) Àlgebra Tópico resolvido

[lflusao]

A equação [tex3]x^3-4x^2+5x+3[/tex3]=0 possui as raízes m,p e q. O valor da expressão [tex3]\frac{m}{pq} + \frac{p}{mq} + \frac{q}{mp}[/tex3] é.

[PedroCunha]

Olá, lflusao.

Vamos desenvolver a expressão pedida:

[tex3]\frac{m}{pq} + \frac{p}{mq} + \frac{q}{mp} = \frac{m^3pq + mp^3q + mpq^3}{(mpq)^2} \therefore \frac{mpq \cdot (m^2+p^2+q^2)}{(mpq)^2} = \frac{m^2+p^2+q^2}{mpq}[/tex3]

Aqui, lembrando de um produto notável:

[tex3]m^2+p^2+q^2 = (m+p+q)^2 - 2(mp+pq+mq)[/tex3]

Substituindo:

[tex3]\frac{(m+p+q)^2 - 2(mp+pq+mq)}{mpq}[/tex3]

Aplicando as relações de Girard, o valor da expressão é:

[tex3]\frac{4^2 - 2 \cdot 5}{-3} = -2[/tex3]

Att.,
Pedro

[brunoafa]

Outra forma de descobrir [tex3]m^2+p^2+q^2[/tex3] é usando as relações de Newton.

[tex3]S_{2}+a_{1}S_{1}+2a_{2}=0 \\ \\
S_{2}+(-4)(4)+2\cdot 5=0 \\ \\
S_{2}=6[/tex3]