Pré-Vestibular ⇒ (UEL) Módulo Tópico resolvido

[murilogazola]

Quaisquer que sejam os números reais [tex3]x[/tex3] e [tex3]y,[/tex3]

a) se [tex3]|x| \,<\, |y|[/tex3], então [tex3]x \,<\, y[/tex3]

b) [tex3]|x y|\,=\, |x|\,|y|[/tex3]

c) [tex3]|x\,+\,y| \,=\, |x|\,+\,|y|[/tex3]

d) [tex3]|-|x||\,=\,-x[/tex3]

e) se [tex3]x\,<\,0,[/tex3] então [tex3]|x|\,<\,x[/tex3]

alguém pode me ajudar a resolver?

[Karl Weierstrass]

a) Falsa. Contra-Exemplo:

[tex3]\hspace{70pt}|1|\,<\,|-2|\,\Longrightarrow \,1\,<\,2[/tex3]

Mas [tex3]1\,\gt\,-2.[/tex3]

b) Verdadeira. É uma propriedade do módulo.

Para provar a propriedade temos que verificar quatro casos:

i) [tex3]x\,\geq\, 0[/tex3] e [tex3]y\,\geq\, 0[/tex3]

ii) [tex3]x\,\geq\, 0[/tex3] e [tex3]y\,<\,0[/tex3]

iii) [tex3]x\,<\,0[/tex3] e [tex3]y\,\geq\, 0[/tex3]

iv) [tex3]x\,<\,0[/tex3] e [tex3]y\,<\,0[/tex3]

É um bom exercício.

Em cada caso aplique a definição de módulo de um número real:

[tex3]\hspace{70pt}|a|\,=\,\begin{cases}a,\,\, \text{se}\,\, a\,\geq\,0\\-a,\,\, \text{se}\, \,a\,<\,0\end{cases}[/tex3]

c) Falsa. Desigualdade Triangular:

[tex3]\hspace{70pt}|x\,+\,y| \,\leq\, |x|\,+\,|y|[/tex3]

Contra-Exemplo:

[tex3]\hspace{70pt}|1\,+\,(-2)|\,\neq\,|1|+|-2|\,\Longrightarrow \,1\,\neq \,3[/tex3]

d) Falsa. Contra-Exemplo:

[tex3]\hspace{70pt}|-|2||\,=\,|-2|\,=\,2\,\neq\, -2.[/tex3]

e) Falsa. Contra-Exemplo:

[tex3]\hspace{70pt}|-2|=\,2\,\gt\,-2.[/tex3]




[tex3]\,[/tex3]

[murilogazola]

Karl, muito obrigado!