Ensino Superior ⇒ Função de uma Variável: Reta Tangente

[demetrius]

Encontre a equação da reta tangente à curva [tex3]y=2x^2+3[/tex3] que seja paralela à reta [tex3]8x-y+3=0.[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Seja [tex3]r[/tex3] a reta

• [tex3]8x\,-\,y\,+\,3\,=\,0\,\Longrightarrow\,y\,=\,8x\,+\,3.[/tex3]

Logo, o coeficiente angular de [tex3]r[/tex3] é [tex3]m_r\,=\,8.[/tex3]

Seja [tex3]t[/tex3] a reta tangente à parábola [tex3]y\,=\,2x^2\,+\,3[/tex3] e paralela a [tex3]r.[/tex3]

Segue que [tex3]m_t\,=\,m_r\,=\,8.[/tex3]

A equação de [tex3]t[/tex3] é dada por:

• [tex3]y\,-\,y_0\,=\,f'(x_0)(x\,-\,x_0),[/tex3]

onde [tex3](x_0,\,y_0)[/tex3] é o ponto de tangência.

Temos que [tex3]f'(x)\,=\,4x,[/tex3] e como [tex3]m_t\,=\,f'(x_0),[/tex3] vem

• [tex3]4x_0\,=\,8\,\Longrightarrow\,x_0=2[/tex3] e [tex3]y_0=f(x_0)=2\,\cdot\,2^2\,+\,3\,=\,11.[/tex3]

Portanto,

• [tex3]t:\,y\,-\,11\,=\,8\,\cdot\,(x\,-\,2)\,\Longrightarrow\,t:\,y\,=\,8x\,-\,5.[/tex3]