Pré-Vestibular ⇒ (UEPG - 2014) Função Composta Tópico resolvido

[FabioKatsuo]

Considerando as funções [tex3]f(x)[/tex3] e [tex3]g(x)[/tex3], tais que [tex3]f(x) =\frac{X+3}{4}[/tex3] e [tex3]f(g(x))=\frac{5x}{4x+4}[/tex3] assinale o que for correto.

01) O domínio de [tex3]g(x)[/tex3] é [tex3]\{x \in R\,|\,x \ne -1\}[/tex3].
02) [tex3]g^{-1}(0)=\frac{3}{2}[/tex3]
04) [tex3]g(1)= -\frac{1}{2}[/tex3]
08) [tex3]g(f(5))= \frac{1}{3}[/tex3]
16) O domínio de [tex3]f(x)[/tex3] é [tex3]\{x \in R\,|\,x \ne -3\}[/tex3].

Resposta

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soma:15

[gabemreis]

Dadas as funções: [tex3]f(x)=\frac{x+3}{4}[/tex3] e [tex3]f(g(x))=\frac{5x}{4x+4}[/tex3],

Na primeira função: [tex3]f(x)=\frac{x+3}{4}[/tex3], no lugar de x colocamos g(x), e obtemos:

[tex3]f(g(x))=\frac{g(x)+3}{4}[/tex3] e substituímos [tex3]f(g(x))=\frac{5x}{4x+4}[/tex3], obtendo a relação:

[tex3]\frac{5x}{4x+4} = \frac{g(x)+3}{4}[/tex3], multiplicamos em cruz e obtemos:

[tex3](4x+4)(g(x)+3)=20x[/tex3], fazendo a distributiva:
[tex3]4xg(x)+12x+4g(x)+12=20x[/tex3]
[tex3]g(x)(4x+4)=8x-12[/tex3], portanto:
[tex3]g(x)=\frac{8x-12}{4x+4}[/tex3], ou seja:
[tex3]\color{blue}g(x)=\frac{2x-3}{x+1}[/tex3]

01) O domínio de g(x): o denominador não pode ser zero, portanto:
[tex3]x+1\neq0[/tex3], assim:
[tex3]\color{purple}x\neq-1[/tex3]

02) Aqui temos um probleminha de função inversa. O que fazemos? Iguale f(x) a y:
[tex3]y=\frac{2x-3}{x+1}[/tex3], agora você substitui os [tex3]\color{blue}x[/tex3] por [tex3]\color{red}y[/tex3], e vice-versa:
[tex3]x=\frac{2y-3}{y+1}[/tex3], multiplicando em cruz:
[tex3]yx+x=2y-3[/tex3], passando o y para o lado esquerdo e simplicando, temos:
[tex3]y(x-2)=-x-3[/tex3], portanto, substituindo y por g(x), vem:
[tex3]g^-1(x)=\frac{-x-3}{x-2}[/tex3], então
[tex3]\color{green}g^{-1}(0) = \frac{3}{2}[/tex3]

04) [tex3]g(1)=\frac{2-3}{1+1}[/tex3], portanto,
[tex3]\color{red}g(1)=\frac{-1}{2}[/tex3]

08) [tex3]f(5)=\frac{8}{4}=2[/tex3], assim:
[tex3]g(2)=\frac{4-3}{2+1}[/tex3], portanto:
[tex3]\color{blue}g(2)=\frac{1}{3}[/tex3]

16) A função f(x) não apresenta nenhum domínio específico

Espero ter ajudado! =D

[FabioKatsuo]

Ajudo muito, obrigado pela atenção!!

[FabioKatsuo]

Olá gabemreis você achou o exercício fácil, médio ou difícil?
So por curiosidade.

[gabemreis]

Fico feliz em ter ajudado! =D

[gabemreis]

Olá gabemreis você achou o exercício fácil, médio ou difícil?
So por curiosidade.

Olha, eu já fiz muitos exercícios de função composta, então para mim foi fácil. Contudo, como envolve conceitos de função inversa, que não são muito abordados no Ensino Médio, além da manipulação das funções, eu o consideraria difícil.

[FabioKatsuo]

Você está na universidade ou no ensino médio?

[gabemreis]

Você está na universidade ou no ensino médio?

Estou no terceiro ano do Ensino Médio! Meus vestibulares já estão chegando, a ansiedade já está batendo, haha. Também tenho 17!