Ensino Médio ⇒ Ápotema de um polígono Tópico resolvido

[oziemilly]

Um paciente internado em um hospital observa um vitral com a figura de um polígono inscrito
em um círculo. Lembrando-se dos seus estudos durante o Ensino Médio, percebe que as
coordenadas dos vértices desse polígono, no plano de Argand Gauss, poderiam ser
representadas pelas raízes cúbicas de oito.
Nessas condições, pode-se afirmar que a medida do apótema desse polígono, em unidades
de comprimento, é:



resposta: 1u.c

[csmarceloMOD]

Seja [tex3]z=8[/tex3] um número complexo. As raízes de índice [tex3]n[/tex3] de [tex3]z[/tex3] são dadas pela segunda fórmula de Moivre:

[tex3]\sqrt[n]{z}=z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right)[/tex3]

[tex3]|z|=\sqrt{8^2+0^2}=8[/tex3]

[tex3]\begin{cases}\cos\theta=\frac{a}{|z|}=\frac{8}{8}=1\\\sin\theta=\frac{b}{|z|}=\frac{0}{8}=0\end{cases}\rightarrow\theta=0\text{ ou }\theta=2\pi[/tex3]

Calculando os possíveis valores de [tex3]\sqrt[3]{z}[/tex3] a partir de Moivre:

[tex3]\sqrt[3]{z}=\begin{cases}z_0=\sqrt[3]{8}\left(\cos\left(0+\frac{2\cdot0\cdot\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(0+\frac{2\cdot0\cdot\pi}{3}\right)\right)=2\\
z_1=\sqrt[3]{8}\left(\cos\left(0+\frac{2\cdot1\cdot\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(0+\frac{2\cdot1\cdot\pi}{3}\right)\right)=-1+\sqrt{3}i\\
z_2=\sqrt[3]{8}\left(\cos\left(0+\frac{2\cdot2\cdot\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(0+\frac{2\cdot2\cdot\pi}{3}\right)\right)=-1-\sqrt{3}i
\end{cases}[/tex3]

As [tex3]n[/tex3] raízes de um número complexo sempre determinam um polígono regular de [tex3]n[/tex3] lados, cujo centro geométrico encontra-se no centro do plano de Argand-Gauss.

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Por se tratar de um triângulo equilátero, o segmento [tex3]CD[/tex3] é mediana (com baricentro em [tex3]B[/tex3]) e, portanto,

[tex3]BD=\frac{BC}{2}[/tex3]

O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice.

Fonte: Mediana

Por Pitágoras,

[tex3]m(BC)^2=m(AB)^2+m(AC)^2[/tex3]
[tex3]m(BC)=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}[/tex3]
[tex3]m(BC)=2\rightarrow m(BD)=\frac{2}{2}=1[/tex3]