Pré-Vestibular ⇒ (Unisa-2013) Problema

[natalia19]

Carlos e Ricardo disputaram 15 partidas de boliche e ao fim de cada partida o perdedor pagava um prêmio em dinheiro para o vencedor. O prêmio para a primeira partida foi R$ 15,00 e o prê- mio de cada partida seguinte foi R$ 5,00 a mais do que o valor da partida anterior. Ao final da disputa, ambos receberam o mesmo valor em dinheiro e nenhuma partida terminou empatada. Nes- sas condições, a maior diferença possível entre as vitórias e as derrotas de Ricardo é
(A) 4. (B) 3. (C) 7. (D) 6. (E) 5.

[retlaw]

Como não houve empate e jogaram todas as partidas e ganharam o mesmo valor no final, [tex3][/tex3] sabemos que cada um ganhou a metade do valor total proporcionado pelas 15 partidas que é uma P.A de razão 5 com [tex3]a_1=15[/tex3] sendo assim:

[tex3]a_1+a_2+a_3+...+a_15=S_n[/tex3]

[tex3]S_n=(a_1+a_{n}).\frac{n}{2}[/tex3]

[tex3]a_{n}=a_1+r(n-1)\rightarrow a_{15}=15+5.14=85[/tex3], então temos:

[tex3]S_{15}=(15+85).\frac{15}{2}=750[/tex3]

Valor total da soma das partidas é R$ [tex3]750,00[/tex3] com isso sabemos que cada um ganhou metade disso que é R$ [tex3]375,00[/tex3], correto?

Como o enunciado pede a maior diferença possível entre o número de vitórias e derrotas de Ricardo, deduzimos que só é possível se Ricardo obtiver uma sequência de vitórias nas partidas iniciais até alcançar o valor da sua parcela, que é R$ [tex3]375,00[/tex3], sendo assim:

[tex3]S_m=(a_1+a_m).\frac{m}{2}=375[/tex3]

[tex3]a_m=a_1+5(m-1)[/tex3] substituindo na equação acima, temos:

[tex3]S_m=[a_1+a_1+5(m-1)].\frac{m}{2}=375[/tex3] [tex3]\rightarrow (25+5m)m=750\rightarrow m^2+5m-150=0[/tex3]

Resolvendo encontramos m=-15 e m=10, descartamos o valor negativo e ficamos com m=10.

Sabemos então que Ricardo ganhou 10 partidas e perdeu 5 das 15, então a maior diferença possível é 10-5=5

Resposta E)

Bons estudos, sejas feliz!!!!!

[natalia19]

Muito obrigada, me ajudou bastante!

Como não houve empate e jogaram qtodas as partidas e ganharam o mesmo valor no final, [tex3][/tex3] sabemos que cada um ganhou a metade do valor total proporcionado pelas 15 partidas que é uma P.A de razão 5 com [tex3]a_1=15[/tex3] sendo assim:

[tex3]a_1+a_2+a_3+...+a_15=S_n[/tex3]

[tex3]S_n=(a_1+a_{n}).\frac{n}{2}[/tex3]

[tex3]a_{n}=a_1+r(n-1)\rightarrow a_{15}=15+5.14=85[/tex3], então temos:

[tex3]S_{15}=(15+85).\frac{15}{2}=750[/tex3]

Valor total da soma das partidas é R$ [tex3]750,00[/tex3] com isso sabemos que cada um ganhou metade disso que é R$ [tex3]375,00[/tex3], correto?

Como o enunciado pede a maior diferença possível entre o número de vitórias e derrotas de Ricardo, deduzimos que só é possível se Ricardo obtiver uma sequência de vitórias nas partidas iniciais até alcançar o valor da sua parcela, que é R$ [tex3]375,00[/tex3], sendo assim:

[tex3]S_m=(a_1+a_m).\frac{m}{2}=375[/tex3]

[tex3]a_m=a_1+5(m-1)[/tex3] substituindo na equação acima, temos:

[tex3]S_m=[a_1+a_1+5(m-1)].\frac{m}{2}=375[/tex3] [tex3]\rightarrow (25+5m)m=750\rightarrow m^2+5m-150=0[/tex3]

Resolvendo encontramos m=-15 e m=10, descartamos o valor negativo e ficamos com m=10.

Sabemos então que Ricardo ganhou 10 partidas e perdeu 5 das 15, então a maior diferença possível é 10-5=5

Resposta E)

Bons estudos, sejas feliz!!!!!