Pré-Vestibular ⇒ (Unifenas) Geometria Plana Tópico resolvido

[Katy]

Três bastões cilíndricos de mesmo raio r (vide figura) devem ser colocados dentro de um prisma quadrangular regular, de modo a ficarem presos sem folga. Qual é o valor do lado da base do prisma?

Screen Shot 2014-10-17 at 21.50.40.png (16.06 KiB) Exibido 3478 vezes

a) [tex3]r\left(2+\sqrt{3}\right)[/tex3]
b) [tex3]r\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[/tex3]
c) [tex3]2r\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[/tex3]
d) [tex3]r\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)[/tex3]
e) [tex3]2r\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Resposta

---

Gabarito A

[LeoDiaz]

Note que o prisma formado será de base triangular regular assim.
E o primeiro circulo circunscreve um triangulo também equilátero, assim sendo a altura deste 3r

1° Altura do triangulo formado pela união dos centros das circunferências.

[tex3]\frac{2r\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]r\sqrt{3}[/tex3]

2° A altura do triângulo maior

[tex3]3r + r\sqrt{3}[/tex3]

3° calcular o lado

[tex3]\frac{L\sqrt{3}}{2}=(3r + r\sqrt{3})[/tex3]
[tex3]L=\frac{6r+3r\sqrt{3}}{3}[/tex3]
[tex3]L=r(2+\sqrt{3})[/tex3]

[LeoDiaz]

Nesse caso o raio da circunferência faz o papel também do apótema, sendo o apote [tex3]\frac{1H}{3}[/tex3] logo a altura desse pequeno será [tex3]3r[/tex3]

Sem título.png (4.01 KiB) Exibido 3506 vezes

[Katy]

Brigada Leo

Eu só fiquei com dúvida porque a questão diz que os cilindros vão ser colocados em um prisma quadrangular regular,no caso, se eu achar o lado através da base de triangulo regular e considerar como o lado do prisma quadrangular estaria certo?

[LeoDiaz]

Oi, então eu considerei isso, estava tentando fazer de outra forma e não obtive sucesso, de repente o avaliador deve ter se enganado na hora de elaborar.

Fiz basicamente isso da imagem

3c.jpg (24.83 KiB) Exibido 3495 vezes

Ops esqueci de colocar a altura do grande na imagem mas é [tex3]r\sqrt{3}+3r[/tex3]

[Katy]

Aaah verdade,porque deu o resultado correto ne...Brigada

[LeoDiaz]

Oi estava olhando com um amigo e o lado do prisma vai ser a altura do triângulo equilátero de dentro mais dois raios. Que também será igual ao lado do triângulo equilátero maior, depois coloco uma figura pra ficar melhor a visualização é que estou respondendo do cel.

[retlaw]

Screen Shot 2014-10-17 at 21.50.40.png (11.87 KiB) Exibido 3450 vezes

Sendo L o lado do triângulo, temos:

[tex3]L = 2r[/tex3]

Sendo h a altura do triângulo, temos:
[tex3]h=L\frac{\sqrt{3}}{2}=2r\frac{\sqrt{3}}{2}=r\sqrt{3}[/tex3]

Sendo o lado do quadrado Q, temos:

[tex3]Q=h+2r=2r+r\sqrt{3}=r(2+\sqrt{3)}[/tex3]

Resposta A)