Ensino Médio ⇒ Relação entre V, A e S de uma pirâmide.

[Ollecram34]

Considerando uma pirâmide quadrangular regular, de volume V, área lateral A e área total S, mostre que é válida a relação 36 [tex3]V^{2}[/tex3]=S(S-A)(2A-S).

Não sei o que relacionar e nem por onde começar.

[mateusITA]

Seja a a aresta lateral da pirâmide; l, a aresta da base; h, a altura da pirâmide; e h', a altura da face lateral.

Repare que a diferença entre a área total e área lateral representa a área da base. Então:

[tex3]l^{2}[/tex3] = S - A (I)

[tex3]a^{2} = \frac{l^{2}}{2} + h^{2}[/tex3] (II)

[tex3]a^{2} = h'^{2} + \frac{l^{2}}{4}[/tex3] (III)

(II) [tex3]\rightarrow[/tex3] (III):

[tex3]h^{'} = \sqrt{\frac{l^{2}}{4} + h^{2}}[/tex3]

A área lateral será:

A = 4.[tex3]\frac{l}{2}[/tex3].h'
A = 4.[tex3]\frac{l}{2}[/tex3].[tex3]\sqrt{\frac{l^{2}}{4} + h^{2}}[/tex3]

Elevando ao quadrado:

[tex3]A^{2} = l^{4}[/tex3] + 4.[tex3]l^{2}[/tex3].[tex3]h^{2}[/tex3] (IV)

(I) [tex3]\rightarrow[/tex3] (IV):

[tex3]h^{2} = \frac{A^{2}-(S-A)^{2}}{4.(S-A)}[/tex3] (Diferença de "quadrados")
h = [tex3]\sqrt{\frac{(2A-S).S}{4.(S-A)}}[/tex3] (V)

O volume V será dado por:

V = [tex3]\frac{1}{3}[/tex3].[tex3]l^{2}[/tex3].h (VI)

(I) e (V) em (VI):

V = [tex3]\frac{1}{3}[/tex3].(S - A).[tex3]\sqrt{\frac{(2A-S).S}{4.(S-A)}}[/tex3]

Elevando ao quadrado:

36 [tex3]V^{2}[/tex3] = S.(S-A).(2A-S)