Ensino Médio ⇒ Equações Polinomiais: Relações de Girard Tópico resolvido

[WandersoGD]

Sendo [tex3]a,b,c,d,e[/tex3] as raízes da equação: [tex3]x^5 - 3x^4 -5x^3 + 15x^2 + 14x - 12= 0[/tex3] determine o valor de [tex3]\frac {1}{bcde} + \frac{1}{acde} + \frac{1}{abde} + \frac{1}{abce} + \frac{1}{abcd}[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá WandersoGD,

O [tex3]\text{mmc}[/tex3] da soma de frações pedida é [tex3]abcde[/tex3]. Efetuando o [tex3]\text{mmc},[/tex3] ficamos com:

[tex3]\frac{a+b+c+d+e}{abcde}[/tex3]

Esta fração possui, no numerador, a soma das raízes e, no denominador, o produto das raízes.
Estes valores podemos encontrar através das Relações de Girardi. Para o polinômio do quinto grau, essas realações são:

[tex3]\text{Soma} = -\frac{B}{A}=-\frac{-3}{1}=3[/tex3]

[tex3]\text{Produto} = -\frac{F}{A}=-\frac{-12}{1}=12[/tex3]

Agora, substituindo esses valores na fração pedida, temos:

[tex3]\frac{a+b+c+d+e}{abcde}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}[/tex3]