Pré-Vestibular ⇒ (UNISA-2014) Geometria Analitica Tópico resolvido

[natalia19]

O triângulo de vértices A (7,8), B (3,0) e C (11,0) é interceptado por uma reta r, que passa pela origem dos eixos cartesianos e pelos pontos D (x,y) e E (9,4), que pertencem,respectivamente, aos lados AB e AC do triângulo, conforme mostra a figura.
Qual a abcissa do ponto D?

[mateusITA]

Equação da reta AB:

y = ax + b

Para A(7,8):

8 = 7a + b

Para B(3,0):

0 = 3a + b

Resolvendo o sistema, [tex3]a = 2[/tex3] e [tex3]b = -6[/tex3].

Reta AB: [tex3]y=2x-6[/tex3]

Equação da reta r:

y = cx + d

Ponto O(0,0):

0 = 0.c + d

Ponto E(9,4):

4 = 9.c + d

Resolvendo o sistema, [tex3]d = 0[/tex3] e [tex3]c = \frac{4}{9}[/tex3].

Reta r: [tex3]y=\frac{4}{9}x[/tex3]

Repare que o ponto D é a intersecção da reta AB e da reta r. Para acharmos a abcissa do ponto D, basta resolvermos o seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}
y=\frac{4}{9}x \\
y=2x-6
\end{cases}[/tex3]

[tex3]x=\frac{27}{7}[/tex3], [tex3]y=\frac{12}{7}[/tex3].