Ensino Médio ⇒ Número de Divisores Positivos de um Inteiro Tópico resolvido

[vigoberto]

Determine o número inteiro [tex3]m[/tex3] de modo que [tex3]9 \cdot 10^m[/tex3] admita [tex3]48[/tex3] divisores inteiros positivos distintos.

Estou com dificuldades em resolver. Podem me ajudar?

[cajuADMIN]

Olá Vigoberto,

A quantidade de divisores é calculada multiplicando-se os expoentes dos fatores aumentados em uma unidade cada um. Por exemplo, a quantidade de divisores do número [tex3]144=2^4\cdot 3^2[/tex3] é [tex3](4+1)\cdot(2+1)=15[/tex3].

Portanto, para encontrar a quantidade de divisores do número [tex3]9\cdot 10^m[/tex3] devemos primeiramente fatorá-lo:

[tex3]9\cdot 10^m=3^2\cdot(2\cdot5)^m=3^2\cdot 2^m\cdot 5^m[/tex3]

Ou seja, os expoentes são 2, m e m. Aumentamos uma unidade cada um e multiplicamos:

[tex3]3\cdot(m+1)\cdot(m+1)=48[/tex3]

Agora é só resolver esta equação, que tem como resposta: [tex3]m=3[/tex3] ou [tex3]m=-5.[/tex3] Como [tex3]m[/tex3] representa uma quantidade, descartamos o resultado negativo e ficamos com [tex3]m=3.[/tex3]