Pré-Vestibular ⇒ (EBMSP) Sistema

[Katy]

Em uma confraternização, todas as pessoas se cumprimentaram ao chegar e se despediram ao sair.
Observou-se neste grupo que
• dois homens sempre se cumprimentam com um aperto de mãos e se despedem com outro aperto de mãos;
• um homem e uma mulher sempre se cumprimentam com um aperto de mãos, mas se despedem com um abraço;
• duas mulheres sempre se cumprimentam com um abraço, mas se despedem com um aceno.

Sabendo-se que, nesta reunião, a razão entre o número de homens e o de mulheres presentes e a razão entre o número total de apertos de mão e o de abraços dados foram, respectivamente, iguais a 2/3 16/17, pode-se afirmar que o número total de:

1) abraços foi igual a 255.
2) apertos de mãos foi igual a 250.
3) mulheres presentes à confraternização foi igual a 10.
4) homens presentes à confraternização foi igual a 15.
5) mulheres presentes à confraternização excedeu o número de homens em uma unidade

Resposta

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Gabarito 1

[csmarceloMOD]

Seja [tex3]m[/tex3] o números de mulheres e [tex3]h[/tex3] o números de homens na confraternização.

Total de cumprimentos com aperto de mão entre homens = [tex3]C_h^2=\frac{h(h-1)}{2}[/tex3]
Total de cumprimentos com aperto de mão entre homens e mulheres = [tex3]mh[/tex3]
Total de despedidas com aperto de mão = [tex3]C_h^2=\frac{h(h-1)}{2}[/tex3]

Total de apertos de mão = [tex3]\frac{h(h-1)}{2}+\frac{h(h-1)}{2}+mh=h(h-1)+mh[/tex3]

Total de cumprimentos com abraço = [tex3]C_m^2=\frac{m(m-1)}{2}[/tex3]
Total de despedidas com abraço = [tex3]mh[/tex3]

Total de abraços = [tex3]\frac{m(m-1)}{2}+mh[/tex3]

Logo,

[tex3]\frac{h(h-1)+mh}{\frac{m(m-1)}{2}+mh}=\frac{16}{17}[/tex3]

Mas, do enunciado, também temos que [tex3]\frac{h}{m}=\frac{2}{3}\rightarrow h=\frac{2m}{3}[/tex3].

Portanto,

[tex3]\frac{\frac{2m}{3}(\frac{2m}{3}-1)+m\cdot\frac{2m}{3}}{\frac{m(m-1)}{2}+m\cdot\frac{2m}{3}}=\frac{16}{17}\rightarrow m=15\rightarrow h=10[/tex3] e, daí, concluímos que o total de abraços foi de 255.