Ensino Superior ⇒ Cálculo de derivadas através da Definição Tópico resolvido

[demetrius]

Alguém consegue achar o f`(x), derivada, usando definições?

a)[tex3]f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}[/tex3]

b)[tex3]f(x)=\sqrt[3]{2x+3}[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Encontre pela definição a [tex3]1[/tex3] ª derivada das funções abaixo:

a) [tex3]f(x)\,=\,\frac{1}{\sqrt{x\,+\,1}}[/tex3]

b) [tex3]f(x)\,=\,\sqrt[3]{2x\,+\,3}[/tex3]

a)

Definição de Derivada

[tex3]\hspace{70pt}f'(x)\,=\,\lim_{h\rightarrow 0}\,\,\frac{f(x\,+\,h)\,-\,f(x)}{h}[/tex3]

Aplicando a definição, vem
[tex3]f'(x)\,=\,\lim_{h\rightarrow 0}\,\,\frac{\frac{1}{\sqrt{x\,+\,h\,+\,1}}\,-\,\frac{1}{\sqrt{x\,+\,1}}}{h}\,=\\\,

\lim_{h\rightarrow 0}\,\,\frac{\frac{\sqrt{x\,+\,1}\,-\,\sqrt{x\,+\,h\,+\,1}}{\sqrt{x\,+\,1}\,\cdot\,\sqrt{x\,+\,h\,+\,1}}}{h}\,=\\\,

\lim_{h\rightarrow 0}\,\,\frac{\sqrt{x\,+\,1}\,-\,\sqrt{x\,+\,h\,+\,1}}{h\,\cdot\,\sqrt{(x\,+\,1)\,\cdot\,(x\,+\,h\,+\,1)}}[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}f'(x)\,=\,\lim_{h\rightarrow 0}\,\,\frac{\sqrt{x\,+\,1}\,-\,\sqrt{x\,+\,h\,+\,1}}{h\,\cdot\,\sqrt{(x\,+\,1)\,\cdot\,(x\,+\,h\,+\,1)}}\,\cdot\,\frac{\sqrt{x\,+\,1}\,+\,\sqrt{x\,+\,h\,+\,1}}{\sqrt{x\,+\,1}\,+\,\sqrt{x\,+\,h\,+\,1}}[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}f'(x)\,=\,\lim_{h\rightarrow 0}\,\,\frac{x\,+\,1\,-\,x\,-\,h\,-\,1}{h\,\cdot\,(\sqrt{x\,+\,1}\,+\,\sqrt{x\,+\,h\,+\,1})\,\cdot\,\sqrt{(x\,+\,1)\,\cdot\,(x\,+\,h\,+\,1)}}[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}f'(x)\,=\,-\,\frac{1}{2\,\cdot\,(x\,+\,1)\,\cdot\,\sqrt{x\,+\,1}}[/tex3]


b)

[tex3]\hspace{70pt}f'(x)\,=\,\lim_{h\rightarrow 0}\,\,\frac{\sqrt[3]{2x\,+\,2h\,+\,3}\,-\,\sqrt[3]{2x\,+\,3}}{h}[/tex3]

Nesse caso o numerador é da forma [tex3]\sqrt[3]{a}\,-\, \sqrt[3]{b},[/tex3] com [tex3]a\,=\,2x\,+\,2h\,+\,3[/tex3] e [tex3]b\, =\, 2x\,+\,3.[/tex3]

Para eliminar a indeterminação você deverá racionalizar o numerador multiplicando por [tex3]\sqrt[3]{a^2}\,+\,\sqrt[3]{ab}\, +\,\sqrt[3]{b^2}[/tex3], pois [tex3](m\,-\,n)(m^2\,+\,mn\,+\,n^2)\,=\,m^3\,-\,n^3[/tex3].

Com essas informações e procedendo como no item (a) você deverá encontrar

[tex3]\hspace{70pt}f'(x)\,=\,\frac{2}{3\,\cdot\,\sqrt[3]{(2x\,+\,3)^2}}.[/tex3]

[demetrius]

Olá estou com uma dúvida no item a), pois para mim o 2 do resultado esta dentro da raiz, tem como você dar uma expichada nos calculos do finalzinho do item a?
Valeu.

O meu ficou assim: [tex3]f(x)=\frac{1}{(x+1)\sqrt{2x+1}}[/tex3]

[Karl Weierstrass]

[tex3]\hspace{70pt}f'(x)\,=\,\lim_{h\rightarrow 0}\,\,\frac{x\,+\,1\,-\,x\,-\,h\,-\,1}{h\,\cdot\,(\sqrt{x\,+\,1}\,+\,\sqrt{x\,+\,h\,+\,1})\,\cdot\,\sqrt{(x\,+\,1)\,\cdot\,(x\,+\,h\,+\,1)}}[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}f'(x)\,=\,\lim_{h\rightarrow 0}\,\,\frac{-h}{h\,\cdot\,(\sqrt{x\,+\,1}\,+\,\sqrt{x\,+\,h\,+\,1})\,\cdot\,\sqrt{(x\,+\,1)\,\cdot\,(x\,+\,h\,+\,1)}}[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}f'(x)\,=\,\lim_{h\rightarrow 0}\,\,-\,\frac{1}{(\sqrt{x\,+\,1}\,+\,\sqrt{x\,+\,h\,+\,1})\,\cdot\,\sqrt{(x\,+\,1)\,\cdot\,(x\,+\,h\,+\,1)}}[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}f'(x)\,=\,-\,\frac{1}{(\sqrt{x\,+\,1}\,+\,\sqrt{x\,+\,0\,+\,1})\,\cdot\,\sqrt{(x\,+\,1)\,\cdot\,(x\,+\,0\,+\,1)}}[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}f'(x)\,=\,-\,\frac{1}{(\sqrt{x\,+\,1}\,+\,\sqrt{x\,+\,1})\,\cdot\,\sqrt{(x\,+\,1)\,\cdot\,(x\,+\,1)}}[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}f'(x)\,=\,-\,\frac{1}{2\,\cdot\,\sqrt{x\,+\,1}\,\cdot\,\sqrt{(x\,+\,1)^2}}[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}f'(x)\,=\,-\,\frac{1}{2\,\cdot\,(x\,+\,1)\,\cdot\,\sqrt{x\,+\,1}}[/tex3]

Você poderia ter aplicado as fórmulas de derivada para confirmar.