Pré-Vestibular ⇒ (UESC 2007) Trigonometria Tópico resolvido

[jhor]

O conjunto-solução da equação sen (x) = sen (4x) , no intervalo 0 < x < p , possui número de elementos igual a:

01) 1
02) 2
03) 3
04) 4
05) 5

Obrigado pela ajuda!

[Ittalo25MOD]

Olá,

Acabei chegando numa equação do 3° grau, mas certamente deve existir um modo mais fácil de resolver, já que é uma questão de vestibular tradicional....

[tex3]senx =sen4x[/tex3]

[tex3]senx =2.sen2x.cos2x[/tex3]

[tex3]senx =2.2.senx.cosx.cos2x[/tex3]

[tex3]1 =4.cosx.cos2x[/tex3]

[tex3]1 =4.cosx.(cos^2x-sen^2x)[/tex3]

[tex3]1 =4.cosx.(2cos^2x-1)[/tex3]

[tex3]8cos^3x - 4cosx -1 = 0[/tex3]

Daí, testando os divisores do termo independente: [tex3](1,-1,\frac{1}{2},\frac{-1}{2}....)[/tex3] achei [tex3]\frac{-1}{2}[/tex3] como raiz.

Diminui o grau por Ruffini, chegando na equação do segundo grau:

[tex3]4cos^2x -2cosx-1 = 0[/tex3]

Com raízes:

[tex3]\frac{1+\sqrt{5}}{4}[/tex3] e [tex3]\frac{1-\sqrt{5}}{4}[/tex3]

As soluções para cosx no intervalo de 0 a [tex3]\pi[/tex3] :

[tex3]cosx = \frac{-1}{2}[/tex3]

x = 120°

[tex3]cosx = \frac{1+ \sqrt{5}}{4} = 0,80[/tex3]

x = 36°

[tex3]cosx = \frac{1- \sqrt{5}}{4} = -0,30[/tex3]

x = 108°

3 soluções