Pré-Vestibular ⇒ (UESB 2014) Geometria Analítica Tópico resolvido

[tailanfelix]

Um quadrado tem vértices consecutivos A(2,3), B, C(-4,-5) e D. Com base nessas informações, pode-se afirmar que uma equação da reta BD é :

A) 4x + 3y + 7 = 0
B) 4x - 3y - 1 = 0
C) 4x - 3y + 1 = 0
D) 3x + 4y - 7 = 0
E) 3x + 4y + 7 = 0

Resposta

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O gabarito é letra E, porém eu só consigo chegar na a e c.

Alguém pode me ajudar e demonstrar essa questão no plano cartesiano?? Fico muito feliz pela ajuda.

[mateusITA]

Equação da reta AC:

[tex3]\begin{cases}
3=2a+b \\
-5=-4a+b
\end{cases}[/tex3]

[tex3]b=\frac{1}{3}[/tex3], [tex3]a=\frac{4}{3}[/tex3]

Forma reduzida de AC: [tex3]y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}[/tex3]

Repare que a reta cobrada na questão é perpendicular a reta AC e passa pelo ponto médio da diagonal AC. Então:

Equação da reta BD: [tex3]y=cx+d[/tex3]

Reta BD perpendicular a reta AC: [tex3]\frac{4}{3}.c=-1[/tex3] [tex3]\therefore[/tex3] [tex3]c=\frac{-3}{4}[/tex3]
Ponto médio de AC: M [tex3]\left(\frac{2+(-4)}{2},\frac{3+(-5)}{2}\right)[/tex3] [tex3]\therefore[/tex3] M(-1,-1)

BD passa por M:

[tex3]-1=\frac{-3}{4}.(-1)+d[/tex3]
[tex3]d=\frac{-7}{4}[/tex3]

Equação reduzida de BD: [tex3]y=\frac{-3}{4}x-\frac{7}{4}[/tex3]
Equação desenvolvida de BD: [tex3]3x+4y+7=0[/tex3]